Regional 2019 - N3 - P3

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AgusBarreto

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Mensaje sin leer por AgusBarreto » Jue 12 Sep, 2019 5:59 pm

En este problema no se puede usar calculadora

Sea $ABC$ un triángulo de lados $AC=BC=10$ y $AB=12$. Se pinta de rojo todos los puntos $X$ en los lados del triángulo $ABC$ tales que la distancia de $X$ al vértice $A$ es menor que la distancia de $X$ al vértice $C$. Determinar la longitud de los segmentos rojos.

bmth2001
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Re: Regional 2019 - N3 - P3

Mensaje sin leer por bmth2001 » Jue 12 Sep, 2019 6:44 pm

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A mí me dió que en BC no hay ningún segmento rojo, en AC hay un segmento menor a 5 (4,99...) y en AB un segmento menor a 8,4 (alrededor de 8,3)

bmth2001
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Re: Regional 2019 - N3 - P3

Mensaje sin leer por bmth2001 » Jue 12 Sep, 2019 6:48 pm

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A mí me dió que en BC no hay ningún segmento rojo, en AC hay un segmento menor a 5 (4,99...) y en AB un segmento menor a 8,4 (alrededor de 8,3)

Santito
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Re: Regional 2019 - N3 - P3

Mensaje sin leer por Santito » Jue 12 Sep, 2019 7:00 pm

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En el lado AC se pinta de rojo desde el punto medio hasta el vértice A (el segmento rojo mide 5).

En el lado BC no se pinta nada de rojo porque en el vértice B la distancia a A es 12 y a C es 10. El resto de los puntos están en línea recta hacia C, por lo que ninguno va a estar más cerca de A que de C.

En el lado AB podemos hallar el punto donde AX = CX si trazamos la altura CD. Por Pitágoras, AD² + CD² = AC². Esto es, 6² + CD² = 10². Por lo tanto, CD = 8.

Ahora, si llamamos X al punto en AB tal que AX = CX, podemos plantear las siguientes igualdades:

AD + DX = AX = CX
DX² + CD² = CX² (por Pitágoras)

Pasando en limpio:
6 + DX = CX
DX² + 8² = CX²

\sqrt{DX² + 8²} = 6 + DX
DX² + 8² = 36 + 12DX + DX²
64 - 36 = 12DX
28 = 12 DX
7/3 = DX

6 + DX = CX
6 + 7/3 = CX
25/3 = CX = AX
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Agustin Azar
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Re: Regional 2019 - N3 - P3

Mensaje sin leer por Agustin Azar » Jue 12 Sep, 2019 9:11 pm

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Trazamos la recta mediatriz en el lado $\overline{ac}$ que corta a $\overline{ac}$ en el punto $m$ y a $\overline{ab}$ en el punto $n$.
Como la mediatriz representa todos los puntos equidistantes a los extremos de un segmento, se puede decir que todo punto que este en el mismo semiplano que $a$ respecto a la mediatriz estará más cerca de $a$ que de $c$.
Trazamos la altura desde $\overline{ab}$ que corta al lado en el punto $o$.
como $\overline{ac}$ = $\overline{bc}$ entonces los angulos $a\hat{b}c$ y $b\hat{a}c$ tambien los son por ser un triangulo isóceles.
entonces el triangulo $amn$ es semejante al triangulo $ocb$ de modo que:
$\frac{\overline{am}}{\overline{bo}}$ = $\frac{\overline{an}}{\overline{bc}}$
nos queda que:
$\frac{5}{6}$ = $\frac{\overline{an}}{10}$
por lo que el segmento $\overline{an}$ = $\frac{25}{3}$ y el segmento $\overline{am}$ = 5
Última edición por Agustin Azar el Jue 12 Sep, 2019 10:03 pm, editado 1 vez en total.
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Gregorio
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Re: Regional 2019 - N3 - P3

Mensaje sin leer por Gregorio » Jue 12 Sep, 2019 9:16 pm

Justificación sencilla de por qué no hay puntos rojos sobre $BC$:
Spoiler: mostrar
En el punto $B$ la distancia a $C$ es menor que la distancia a $A$. Ahora, para que haya un punto rojo en $BC$, yo debería tomar un punto $D$ sobre $BC$ tal que la distancia desde $D$ a $C$ sea mayor que la distancia desde $D$ a $A$.
La diferencia entre la distancia desde $B$ a $C$ y la distancia desde $D$ a $C$ es: $BC - DC = BD$
La diferencia entre la distancia desde $B$ a $A$ y la distancia desde $D$ a $A$ es: $BA - DA$

Ahora, para que haya un punto rojo en $BC$ tiene que pasar que $BA - DA > BD$, porque la distancia a $A$ se tiene que achicar más que la distancia a $C$. Esta condición es equivalente a que se tenga que cumplir que $BA > DA + BD$. Pero $BA$, $DA$ y $BD$ son lados de un triángulo, luego por desigualdad triangular, esto nunca se cumple.

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Gianni De Rico

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Re: Regional 2019 - N3 - P3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Vie 13 Sep, 2019 9:17 pm

Solución:
Spoiler: mostrar
Regional 2019 N3 P3 - Figura de análisis.png
La desigualdad $$XA<XC$$ es una desigualdad lineal. Como todos los puntos de la mediatriz de $AC$ verifican la igualdad, y tomando $X\equiv A$ se tiene $$XA=AA=0<10=AC=XC$$ entonces los puntos que cumplen con la desigualdad son los que pertenecen al mismo semiplano que $A$ respecto a la mediatriz de $AC$.

Sean $M$ y $N$ los puntos de intersección de la mediatriz de $AC$ con los segmentos $AC$ y $AB$, respectivamente ($N$ está en el segmento $AB$ pues $BA=12>10=BC$). Entonces, como los puntos $X$ están sobre los lados de $ABC$, tenemos que son todos los puntos pertenecientes a los segmentos $AM$ y $AN$, distintos de $M$ y $N$.
Como $N$ está sobre la mediatriz de $AC$, tenemos que $AN=NC$, de donde $\angle ACN=\angle NAC=\angle BAC$. Como $AC=BC=10$, entonces $\angle BAC=\angle CBA=\angle CBN$, es decir, $\angle ACN=\angle CBN$. Por lo tanto, $AC$ es tangente al circuncírculo de $CBN$, de donde $100=AC^2=\text{Pot}(A,\odot CBN)=AB\cdot AN=12\cdot AN$, por lo que $AN=\frac{100}{12}=\frac{25}{3}$.
Como $M$ está sobre $AC$ y su mediatriz, entonces $M$ es el punto medio de $AC$, de donde $AM=\frac{10}{2}=5$.
Como un punto no tiene dimensión (por definición de punto), tenemos entonces que las longitudes de los segmentos rojos son $5$ y $\frac{25}{3}$.
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[math]

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