IGO 2019 - Nivel Avanzado - P2

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Fran2001

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IGO 2019 - Nivel Avanzado - P2

Mensaje sin leer por Fran2001 » Vie 20 Sep, 2019 10:21 pm

¿Es cierto que en cualquier $n$-ágono convexo, con $n>3$, existen un vértice y una diagonal que pasa por ese vértice tales que los ángulos que forma esta diagonal con los lados adyacentes a este vértice son agudos?
Ya le rimo la respuesta // que de la duda nos saca // el animal que usted dice // tiene por nombre la vaca
https://www.youtube.com/watch?v=7ydlVCj94x4

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Turko Arias

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Re: IGO 2019 - Nivel Avanzado - P2

Mensaje sin leer por Turko Arias » Mié 06 May, 2020 9:59 pm

A lo largo de toda la solución vamos a usar el siguiente hecho:
Spoiler: mostrar
Si en un triángulo $ABC$ tenemos que $AB \leq BC \leq AC$ entonces $\widehat{C} \leq \widehat{A} \leq \widehat{B}$.
Ahora si, la solución:
Spoiler: mostrar
Consideremos el conjunto $S$ que contiene las longitudes de todos los segmentos que unen dos vértices del polígono (lados y diagonales). Como nuestro polígono tiene $n$ vértices, $S$ es finito y por ende tiene un elemento, digamos $X$, que es el mayor de todos (puede haber más de un segmento mida $X$, no importa). Tenemos dos casos ahora:
  • Hay un lado que mide $X$: Sean $A$ y $B$ los extremos de dicho lado, sea $C$ el vértice que sigue en sentido horario, tomamos el triángulo $ABC$, como $AC \leq AB$ tenemos que el ángulo $\widehat{B}$ no es el mayor ángulo del triángulo, y por ende es agudo, así que considerando cualquier diagonal que salga de él estamos.
  • Hay una diagonal que mide $X$: Sean $BZ$ los extremos de dicha diagonal, consideramos $A$ y $C$ los vértices vecinos de $B$. Mirando el triángulo $ABZ$ tenemos que $AZ \leq BZ$ luego $A\widehat{B}Z$ no es el mayor ángulo del triángulo, y por ende es agudo. De manera análoga trabajamos con el triángulo $BCZ$ y vemos que $C\widehat{B}Z$ es agudo, así que estamos.
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