IGO 2019 - Nivel Avanzado - P3

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Fran2001

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IGO 2019 - Nivel Avanzado - P3

Mensaje sin leer por Fran2001 » Vie 20 Sep, 2019 10:27 pm

Las circunferencias $\omega _1$ y $\omega _2$ tienen centros $O_1$ y $O_2$, respectivamente. Estas dos circunferencias se cortan en los puntos $X$ e $Y$. $AB$ es una tangente común a estas dos circunferencias, de forma tal que $A$ está en $\omega _1$ y $B$ está en $\omega _2$. Las tangentes a $\omega _1$ y $\omega _2$ por $X$ cortan a $O_1O_2$ en los puntos $K$ y $L$, respectivamente. Sean $M$ la segunda intersección de $BL$ con $\omega _2$ y $N$ la segunda intersección de $AK$ con $\omega _1$. Demostrar que las rectas $AM, BN$ y $O_1O_2$ concurren.
Ya le rimo la respuesta // que de la duda nos saca // el animal que usted dice // tiene por nombre la vaca
https://www.youtube.com/watch?v=7ydlVCj94x4

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Fran2001

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Re: IGO 2019 - Nivel Avanzado - P3

Mensaje sin leer por Fran2001 » Vie 20 Sep, 2019 10:29 pm

Spoiler: mostrar
Notemos que $YX$ es mediana de $AB$
Ahora, como $KX=KY$ tenemos que $KY$ es tangente a $\omega _1$; por lo que $AB; XY$ y la tangente a $\omega _1$ por $N$ concurren
Es decir que el punto medio de $AB$ equidista de $A$ y de $N$; por lo que $\angle ANB=90^\circ$
Por lo tanto $AN$ y $BO_2$ se cortan en $\omega _2$
Análogamente, $\angle AMB=90^\circ$; y $BM$ y $AO_1$ se cortan en $\omega _1$
Y como $AO_1$ y $BO_2$ son paralelas, tenemos que $AM; BN; O_1O_2$ concurren
Ya le rimo la respuesta // que de la duda nos saca // el animal que usted dice // tiene por nombre la vaca
https://www.youtube.com/watch?v=7ydlVCj94x4

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