IGO 2019 - Nivel Medio - P1

BrunZo

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Mensaje sin leer por BrunZo » Lun 30 Sep, 2019 7:38 pm

Dos círculos $\omega_1$ y $\omega_2$ con centros $O_1$ y $O_2$ respectivamente se cortan en los puntos $A$ y $B$, y el punto $O_1$ está en $\omega_2$. Sea $P$ un punto arbitrario en $\omega_1$. Las rectas $BP$, $AP$ y $O_1O_2$ cortan $\omega_2$ por segunda vez en los puntos $X$, $Y$ y $C$, respectivamente. Probar que el cuadrilátero $XPYC$ es un paralelogramo.
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BrunZo

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Re: IGO 2019 - Nivel Medio - P1

Mensaje sin leer por BrunZo » Lun 30 Sep, 2019 9:43 pm

Solución:
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Como $O_1A=O_1B$ y $O_2A=O_2B$ $\Longrightarrow$ $O_1O_2$ es mediatriz de $AB$ $\Longrightarrow$ $A$ y $B$ son simétricos respecto de $O_1O_2$.
Por ángulo central, $\angle AO_1B=2\angle APB$ $\Longrightarrow$ $\angle AO_1C=\angle CO_1B=\angle APB$.
Como $AO_1CY$ es cíclico $\Longrightarrow$ $\angle AYC=180^{\circ}-\angle AO_1C=180^{\circ}-\angle APB=180^{\circ}-\angle APX$ $\Longrightarrow$ $PX\parallel CY$.
Similarmente, $PY\parallel CX$.
De este modo, $XPYC$ es un paralelogramo, como queríamos probar.
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