Entrenamiento Rio 2019 - Problema 1 - N2 y N3

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Avatar de Usuario
Monazo

OFO - Medalla de Plata OFO - Medalla de Oro FOFO Pascua 2019 - Mención
Mensajes: 182
Registrado: Dom 14 Sep, 2014 2:30 pm
Medallas: 3
Nivel: 1

Entrenamiento Rio 2019 - Problema 1 - N2 y N3

Mensaje sin leer por Monazo » Vie 06 Dic, 2019 4:05 pm

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con $AB=AD$. Dos puntos $M$ y $N$ interiores de los segmentos $CD$ y $BC$ respectivamente son tales que $DM+BN=MN$. Demostrar que el circuncentro del triángulo $AMN$ pertenece al segmento $AC$.
Última edición por Monazo el Lun 16 Dic, 2019 10:36 am, editado 2 veces en total.

Avatar de Usuario
Joacoini

OFO - Medalla de Plata FOFO 9 años - Medalla Especial OFO - Medalla de Oro FOFO Pascua 2019 - Medalla
Mensajes: 254
Registrado: Jue 12 Oct, 2017 10:17 pm
Medallas: 5
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Ciudad Gotica

Re: Entrenamiento Rio 2019 - Problema 1

Mensaje sin leer por Joacoini » Vie 06 Dic, 2019 8:34 pm

Spoiler: mostrar
Sea $M'$ en $BD$ tal que $B$ este entre $M'$ y $B$ y $BM'=DM$.

$MN=DM+BN=BM'+BN=NM'$

Como $A\widehat DM= A\widehat DC=180- A\widehat BC=A\widehat BM'$, $AD=AB$ y $BM'=DM$ los triángulos $ADM$ y $ABM'$ son congruentes.

$AM=AM'$ por lo que $AN$ es mediatriz de $MM'$ por lo que son perpendiculares.

$D\widehat AM=B\widehat AM'\Rightarrow 180-B\widehat CD= D\widehat AB=M\widehat AM'$, por lo que $MAM'C$ es cíclico.

$M\widehat AC=M\widehat{M'}C=M\widehat{M'}N=N\widehat MM'=90-A\widehat NM$.

Si $O$ es el circuncentro de $AMN$ entonces $ M\widehat AO=90-A\widehat NM$ por lo que $A$, $O$ y $C$ son coloniales.
IMG_20191206_201216.jpg
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
1  
NO HAY ANÁLISIS.

Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial OFO - Medalla de Oro
Mensajes: 1126
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 2
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Re: Entrenamiento Rio 2019 - Problema 1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Vie 06 Dic, 2019 11:33 pm

Otra
Solución:
Spoiler: mostrar
Entrenamiento Rio 2019 - P1.png


Sea $G$ sobre el segmento $MN$ tal que $NG=BN$, luego, $MG=DM$.

Veamos que $AN$ y $AM$ son bisectrices de $\angle BAG$ y $\angle DAG$, respectivamente.
En efecto, sean $\angle NBG=\alpha$ y $\angle MDG=\beta$, luego, $\angle CNM=2\alpha$ y $\angle CMN=2\beta$, pues $BNG$ y $DMG$ son isósceles. Por lo tanto, $\angle BCD=\angle NCM=180°-2\alpha -2\beta$, de donde $$\angle BAD=2(\alpha +\beta )=2(180°-(180°-\alpha -\beta ))=\angle BGD$$ luego, como $AB=AD$, tenemos que $A$ es el circuncentro de $BDG$, es decir, $AB=AG=AD$, por lo que $ABNG$ y $ADMG$ son romboides, luego, $AN$ y $AM$ son bisectrices de $\angle BAG$ y $\angle DAG$, respectivamente.

Entonces $$\angle NAM=\angle NAG+\angle GAM=\frac{1}{2}(\angle BAG+\angle GAD)=\frac{1}{2}\angle BAD=\frac{1}{2}\cdot 2(\alpha +\beta )=\alpha +\beta$$

Ahora, sea $O$ el punto donde $\odot CNM$ vuelve a cortar a la recta $AC$, como $AB=AD$ y $ABCD$ es cíclico, tenemos que $CA$ es bisectriz de $\angle BCD$, luego, $CO$ es bisectriz de $\angle NCM$, por lo que $ON=OM$. Por otro lado, tenemos que $\angle NOM=180°-\angle NCM=2(\alpha +\beta )=2\angle NAM$, luego, $O$ es el circuncentro de $AMN$. Para ver que está en el segmento $AC$, basta ver que $\alpha +\beta =\angle NAM<90°$, es decir, basta ver que $2(\alpha +\beta )<180°$, pero esto es cierto pues $\angle MNC=2\alpha$ y $\angle NMC=2\beta$ son dos de los ángulos de un triángulo.
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
Queda Elegantemente Demostrado

Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial OFO - Medalla de Oro
Mensajes: 1126
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 2
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Re: Entrenamiento Rio 2019 - Problema 1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Vie 06 Dic, 2019 11:36 pm

Joacoini escribió:
Vie 06 Dic, 2019 8:34 pm
Spoiler: mostrar
Sea $M'$ en $BD$ tal que $B$ este entre $M'$ y $B$ y $BM'=DM$.

$MN=DM+BN=BM'+BN=NM'$

Como $A\widehat DM= A\widehat DC=180- A\widehat BC=A\widehat BM'$, $AD=AB$ y $BM'=DM$ los triángulos $ADM$ y $ABM'$ son congruentes.

$AM=AM'$ por lo que $AN$ es mediatriz de $MM'$ por lo que son perpendiculares.

$D\widehat AM=B\widehat AM'\Rightarrow 180-B\widehat CD= D\widehat AB=M\widehat AM'$, por lo que $MAM'C$ es cíclico.

$M\widehat AC=M\widehat{M'}C=M\widehat{M'}N=N\widehat MM'=90-A\widehat NM$.

Si $O$ es el circuncentro de $AMN$ entonces $ M\widehat AO=90-A\widehat NM$ por lo que $A$, $O$ y $C$ son coloniales.
IMG_20191206_201216.jpg
Hola Joaco ¿Me explicarías qué son los puntos coloniales?
Saludos y muchas gracias!!
Queda Elegantemente Demostrado

Avatar de Usuario
Joacoini

OFO - Medalla de Plata FOFO 9 años - Medalla Especial OFO - Medalla de Oro FOFO Pascua 2019 - Medalla
Mensajes: 254
Registrado: Jue 12 Oct, 2017 10:17 pm
Medallas: 5
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Ciudad Gotica

Re: Entrenamiento Rio 2019 - Problema 1

Mensaje sin leer por Joacoini » Sab 07 Dic, 2019 9:02 am

Gianni De Rico escribió:
Vie 06 Dic, 2019 11:36 pm
Joacoini escribió:
Vie 06 Dic, 2019 8:34 pm
Spoiler: mostrar
Sea $M'$ en $BD$ tal que $B$ este entre $M'$ y $B$ y $BM'=DM$.

$MN=DM+BN=BM'+BN=NM'$

Como $A\widehat DM= A\widehat DC=180- A\widehat BC=A\widehat BM'$, $AD=AB$ y $BM'=DM$ los triángulos $ADM$ y $ABM'$ son congruentes.

$AM=AM'$ por lo que $AN$ es mediatriz de $MM'$ por lo que son perpendiculares.

$D\widehat AM=B\widehat AM'\Rightarrow 180-B\widehat CD= D\widehat AB=M\widehat AM'$, por lo que $MAM'C$ es cíclico.

$M\widehat AC=M\widehat{M'}C=M\widehat{M'}N=N\widehat MM'=90-A\widehat NM$.

Si $O$ es el circuncentro de $AMN$ entonces $ M\widehat AO=90-A\widehat NM$ por lo que $A$, $O$ y $C$ son coloniales.
IMG_20191206_201216.jpg
Hola Joaco ¿Me explicarías qué son los puntos coloniales?
Saludos y muchas gracias!!
Los colores rojo y amarillo no están al dope en el dibujo.
NO HAY ANÁLISIS.

ricarlos
Mensajes: 398
Registrado: Lun 17 Dic, 2012 2:24 pm

Re: Entrenamiento Rio 2019 - Problema 1

Mensaje sin leer por ricarlos » Sab 07 Dic, 2019 10:09 am

Spoiler: mostrar
Sea $O$ un punto sobre $MN$ tal que $ONB$ sea isosceles en $N$, luego $OMD$ es isosceles en $M$.(1)
Trazamos $\Lambda$ una circunferencia con centro en $A$ y radio $AB=AD$. Dicha circunferencia corta a $AC$ en $I$.
Como $AC$ es bisectriz de $\angle BCD$ entonces (sabemos) $I$ es el incento del $BCD$.

Sea $\angle BCD=\alpha$,
$\angle BAD = 180-\alpha$, por ciclico $ABCD$
$\angle DIB = 360-\frac{BAD}{2} = 90 + \frac{\alpha}{2}$ (2), por inscrito en $\Lambda$,

$\angle CMN + \angle CNM = 180-\alpha$(3) , suplemento de $\alpha$ (triang, CMN),

Por los isosceles (1) $\angle DOM + \angle BON = \angle MDO + \angle NBO =$ la mitad de (3).

O sea, $\angle DOM + \angle BON = \frac{ 180-\alpha}{2} = 90 -\frac{\alpha}{2}$.

Por ultimo $\angle DOB = 90 +\frac{\alpha}{2}$, es decir el suplemento del anterior.

Notamos que este angulo es igual a (2), luego $DIOB$ es ciclico de $\Lambda$, por lo tanto $AO=AB=AD$,

Entonces las bisectrices de $\angle DMO$ y $\angle BNO$ concurren en $A$,

luego $A$ es el excentro de $MCN$ (resp. de C) y si $I'$ es el incentro de dicho triangulo, (sabemos) $AMI'N$ es ciclico
con circuncentro sobre la bisectriz $AC$.
dibu.png
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.

Responder