Entrenamiento Rio 2019 - Problema 3 - N2 y N3

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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Monazo

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Entrenamiento Rio 2019 - Problema 3 - N2 y N3

Mensaje sin leer por Monazo » Vie 06 Dic, 2019 4:16 pm

Sean $C_1$ y $B_1$ puntos de los lados $AB$ y $AC$ del triángulo $ABC$ respectivamente. Los segmentos $BB_1$ y $CC_1$ se cortan en $X$ y los segmentos $B_1C_1$ y $AX$ se cortan en $A_1$. Las circunferencias circunscritas de los triángulos $BXC_1$ y $CXB_1$ cortan al lado $BC$ en $D$ y $F$ respectivamente. Las rectas $B_1D$ y $C_1E$ se cortan en $F$.
Demostrar que las rectas $A_1 F$, $B_1E$, $C_1D$ son paralelas o son concurrentes.
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Joacoini

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Re: Entrenamiento Rio 2019 - Problema 3 - N2 y N3

Mensaje sin leer por Joacoini » Mié 29 Abr, 2020 1:29 am

La primera $F$ del enunciado debería ser una $E$.
Spoiler: mostrar
Sea $P$ la intersección de $B_1E$ con $C_1D$, queremos ver que $P$, $F$ y $A_1$ son colineales lo cual es lo mismo a que se cumpla un Ceva en $B_1C_1P$.

Por Ceva en $AB_1C_1$
$\frac{B_1A_1}{A_1C_1}\cdot\frac{C_1B}{BA}\cdot\frac{AC}{CB_1}=1$
$\frac{B_1A_1}{A_1C_1}=\frac{BA}{C_1B}\cdot\frac{CB_1}{AC}=\frac{CB_1}{C_1B}\cdot\frac{BA}{AC}=\frac{CB_1}{C_1B}\cdot\frac{\sin (A\widehat CB)}{\sin (A\widehat BC)}$

Por otro lado $P\widehat ED=B_1\widehat EC=B_1\widehat XC=C_1\widehat XB=C_1\widehat DB=P\widehat DE$ así que $PD=PE$.

Por teorema del seno en $DC_1B$
$C_1D=\frac{C_1B\times\sin (A\widehat BC)}{\sin (C_1\widehat DB)}$

Por teorema del seno en $EB_1C$
$EB_1=\frac{CB_1\times\sin (A\widehat CB)}{\sin (B_1\widehat EC)}$

Así que
$\frac{C_1D}{EB_1}=\frac{C_1B}{CB_1}\cdot\frac{\sin (A\widehat BC)}{\sin (A\widehat CB)}=\frac{A_1C_1}{B_1A_1}$

Y para terminar

$\frac{B_1A_1}{A_1C_1}\cdot\frac{C_1D}{DP}\cdot\frac{PE}{EB_1}=1$
NO HAY ANÁLISIS.

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enigma1234

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Re: Entrenamiento Rio 2019 - Problema 3 - N2 y N3

Mensaje sin leer por enigma1234 » Mié 29 Abr, 2020 6:22 am

El problema se puede generalizar a:
Sean $C_1$ y $B_1$ puntos de los lados $AB$ y $AC$ del triángulo $ABC$ respectivamente. Los segmentos $BB_1$ y $CC_1$ se cortan en $X$ y los segmentos $B_1C_1$ y $AX$ se cortan en $A_1$. Sean $D$ y $E$ puntos en el lado $BC$. Las rectas $B_1D$ y $C_1E$ se cortan en $F$.
Demostrar que las rectas $A_1F$, $B_1E$, $C_1D$ son paralelas o son concurrentes.
Spoiler: mostrar
Sea $R=BC\cap B_1C_1$, $G=C_1D\cap B_1E$, como $BB_1,CC_1,AA_1$ concurren entonces $\{R,A_1;C_1,B_1\}=-1$. Sea $P=FG\cap C_1B_1$, entonces como $GP$, $C_1E$ y $B_1D$ concurren entonces $\{R,P;C_1,B_1\}=-1$ entonces $A_1=P$ y de esto $A_1F$, $B_1E$ y$C_1D$ concurren en $G$.
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