Entrenamiento Rio 2019 - Problema 7 - N2 y N3

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Monazo

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Entrenamiento Rio 2019 - Problema 7 - N2 y N3

Mensaje sin leer por Monazo » Vie 06 Dic, 2019 5:29 pm

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. El punto $A_1$ pertenece al borde de $ABCD$ y es tal que el segmento $AA_1$ divide al cuadrilátero $ABCD$ en dos partes de igual área. Del mismo modo se definen los puntos $B_1$, $C_1$ y $D_1$. Se sabe que las longitudes de los segmentos $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ y $DD_1$ son menores o iguales que $1$. Demostrar que $\text{Area}(ABCD)<\frac{2}{3}$.
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Re: Entrenamiento Rio 2019 - Problema 7 - N2 y N3

Mensaje sin leer por BrunZo » Mar 07 Abr, 2020 8:45 pm

Gran problema:
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Algo... Qué se yo..PNG
Convenciones:
  • $d(P,l)$ es la distancia del punto $P$ a la recta $l$.
  • $S_A$ al área de la figura $A$.

Supongamos, sin pérdida de generalidad, que $C_1$ está en el lado $AB$. Si $A_1$ estuviera en el lado $CD$, entonces $$S_{ABCD}>S_{BCC_1}+S_{ADA_1}=2\left(\frac{1}{2}S_{ABCD}\right)$$
Lo cual es absurdo. Por lo tanto, $A_1$ pertenece a $BC$. Similarmente, $B_1$ pertenece a $AD$.
Por otro lado, queda claro que
$$S_{ABA_1B_1}=\frac{1}{2}BB_1\cdot d(A,BB_1)+\frac{1}{2}BB_1\cdot d(A_1,BB_1)\leq\frac{1}{2}BB_1\cdot A_1G+\frac{1}{2}BB_1\cdot AG=\frac{1}{2}BB_1\cdot AA_1\leq \frac{1}{2}\quad\quad\text{(1)}$$
Ahora bien, notemos que $S_{ABA_1}=S_{ABB_1}$, por lo que $AB\parallel A_1B_1$. Más aún,
$$AB\cdot d(A_1,AB)=2S_{ABA_1}=S_{ABCD}<S_{ABP}=\frac{1}{2}AB\cdot d(P,AB)$$
Luego $d(A_1,AB)<\frac{1}{2}d(P,AB)$ y por Thales $AB<2A_1B_1$. Ahora,
$$\frac{S_{ABB_1}}{S_{BA_1B_1}}=\frac{d(A,BB_1)}{d(A_1,BB_1)}=\frac{AB}{A_1B_1}<\frac{2}{1}$$
Como inmediato corolario, $S_{ABB_1}<\frac{2}{3}S_{ABA_1B_1}$. Si combinamos esto último con (1) vemos que $S_{ABB_1}<\frac{1}{3}$, luego
$$S_{ABCD}=2S_{ABB_1}<\frac{2}{3}$$


PD: La desigualdad estricta aparece en algo tan simple como $S_{ABCD}<S_{ABP}$, por lo cual habría un "caso de igualdad" cuando el cuadrilátero tienda a ser un triángulo con medianas perpendiculares (pero el problema dice convexo así que se entiende que esto no pasa).
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