Problema 5 Nivel 1 Rioplatense 2019

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Turko Arias

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Problema 5 Nivel 1 Rioplatense 2019

Mensaje sin leer por Turko Arias » Mié 11 Dic, 2019 9:13 pm

Sea $ABC$ un triángulo y $M$ el punto medio del lado $BC$. Supongamos que $\angle AMC=60°$ y que la longitud de $AM$ es mayor que la longitud de $MC$. Sea $D$ el punto sobre el segmento $AM$ tal que $AD=MC$.
Demostrar que $AC=BD$.
Última edición por Gianni De Rico el Mié 11 Dic, 2019 10:21 pm, editado 1 vez en total.
Razón: \angle AMC=60°

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1000i Elizalde

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Re: Problema 5 Nivel 1 Rioplatense 2019

Mensaje sin leer por 1000i Elizalde » Mié 11 Dic, 2019 9:17 pm

Spoiler: mostrar
Marcamos el punto $T$ en el segmento $AM$ tal que $MT=MC=AD$. Como $MT=CM$ y $\angle AMC=60°$ concluimos que el triángulo $CMT$ es equilátero y por ende $\angle CTM=60°$, y entonces $\angle CTA=120°$. Ya que $\angle CMT=60°$, sabemos que $\angle DMB=120°$. Dado que $AD=MT$ con $D$ y $T$ en el segmento $AM$, podemos afirmar que $AT=MD$. Como $CT=BM$ , $AT=DM$ y $\angle CTA=\angle BMD=120°$, podemos afirmar que los triángulos $ACT$ y $BMD$ son iguales y por ende $AC=BM$
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