Rioplatense 2009 N1 P1

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Joacoini

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Rioplatense 2009 N1 P1

Mensaje sin leer por Joacoini » Mar 17 Dic, 2019 5:59 pm

$ABC$ es un triángulo cuyos lados miden $BC = 5$, $AC = 4$ y $AB = 3$. Sean $I$ el centro de la circunferencia tangente internamente a los tres lados del triángulo $ABC$ (incírculo) y $M$ el punto medio de $BC$. Las perpendiculares al lado $AB$ que pasan por $M$ y por $I$ intersectan al lado $AB$ en $R$ y $S$, respectivamente. La recta $MI$ corta al lado $AB$ en el punto $P$. Demostrar que los segmentos $RS$ y $SP$ tienen la misma medida.
NO HAY ANÁLISIS.

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DiegoLedesma
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Re: Rioplatense 2009 N1 P1

Mensaje sin leer por DiegoLedesma » Mié 18 Dic, 2019 3:04 pm

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Es fácil ver que $\bigtriangleup$ $ABC$ es rectángulo ($BC$ hipotenusa). Luego $\bigtriangleup$ $CAB$ $\sim$ $\bigtriangleup$ $MRB$, siendo $MR=2$ (pues, por semejanza $MR=AC/2$). Siendo $IS$ el inradio, por Poncelet tenemos: $5+2IS=3+4$ $\Rightarrow$ $IS=1$. Luego $\bigtriangleup$ $ISP$ $\sim$ $MRP$, con $2SP=RP$ (pues, por semejanza $2IS=MR$) $\Rightarrow$ $SP=RP/2$ $\Rightarrow$ $RS=RP/2$
$\therefore$ $SP=RS$ (Q.E.D.)

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