Rioplatense 2009 N3 P2

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Joacoini

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Rioplatense 2009 N3 P2

Mensaje sin leer por Joacoini » Mar 17 Dic, 2019 6:42 pm

Sean $A, B, C, D, E, F, G, H, I$ nueve puntos en el espacio tales que
$A, B, C, D, E$, en ese orden, son los vértices de un pentágono regular de lado $1$.
$A, B, F, G, H$, en ese orden, son los vértices de un pentágono regular de lado $1$.
$G, F, C, D, I$, en ese orden, son los vértices de un pentágono regular de lado $1$.
Determinar la medida de los lados del triángulo $EHI$.
NO HAY ANÁLISIS.

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Gianni De Rico

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Re: Rioplatense 2009 N3 P2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mar 17 Dic, 2019 8:09 pm

Solución:
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Screenshot_20191217-230526.png
Sea $\pi$ el plano que contiene a las mediatrices de $BC$ (esto es, el plano perpendicular a $BC$ que pasa por su punto medio).
Notemos que $FB=BA=BC=CD=CF=1$ por ser de a pares lados de pentágonos regulares. Luego, si $F$ se obtiene rotando $C$ un ángulo $\alpha$ en sentido antihorario por $AB$, entonces $F$ se obtiene rotando $B$ un ángulo $\alpha$ en sentido horario por $CD$ (pues $F\in \pi$ y $CD$ es el reflejo de $BA$ por $\pi$). Luego, tenemos que $HE=FC=BF=EI$ por las rotaciones.
Ahora, todo el cuerpo es simétrico respecto a $\pi$ (pues $ABCDE$ lo es y las rotaciones son simétricas) entonces $BHIC$ es un paralelogramo, por lo que $IH=CB=1$.
Entonces $EHI$ es un triángulo equilátero de lado $1$.
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