Entrenamiento Ibero 2019 P15

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Matías

OFO - Medalla de Bronce-OFO 2016 OFO - Medalla de Bronce-OFO 2017 FOFO Pascua 2017 - Medalla-FOFO Pascua 2017 OFO - Medalla de Plata-OFO 2018 FOFO 8 años - Medalla Especial-FOFO 8 años
OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO Pascua 2019 - Medalla-FOFO Pascua 2019 COFFEE - Mención-COFFEE Ariel Zylber
Mensajes: 202
Registrado: Mar 06 Oct, 2015 7:59 pm
Medallas: 8
Nivel: 3

Entrenamiento Ibero 2019 P15

Mensaje sin leer por Matías » Dom 22 Dic, 2019 10:40 pm

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB\neq AC$ y $H$ su ortocentro. Sean $D$ y $E$ las intersecciones de $BH$ y $CH$ con $AC$ y $AB$ respectivamente, y $P$ el pie de la perpendicular de $A$ a $DE$. El circuncírculo de $BPC$ corta a $DE$ en un punto $Q\neq P$. Demostrar que las rectas $AP$ y $QH$ se cortan en un punto sobre el circuncírculo de $ABC$.

Avatar de Usuario
Joacoini

OFO - Medalla de Plata-OFO 2018 FOFO 8 años - Medalla Especial-FOFO 8 años OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO Pascua 2019 - Medalla-FOFO Pascua 2019 FOFO 9 años - Medalla Especial-FOFO 9 años
OFO - Medalla de Oro-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Copa-FOFO Pascua 2020
Mensajes: 356
Registrado: Jue 12 Oct, 2017 10:17 pm
Medallas: 7
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Ciudad Gotica

Re: Entrenamiento Ibero 2019 P15

Mensaje sin leer por Joacoini » Lun 23 Dic, 2019 12:10 pm

Spoiler: mostrar
$AP$ es la isogonal de la altura por lo que pasa por el circuncentro de $(ABC)$ y el punto $Z$ el cual es tal que $AZ$ es diámetro de $(ABC)$.

Sea $X$ la intersección de $(ADHE)$ con $(ABC)$, viendo las circunferencias $(ABC)$, $(DEBC)$ y $(ADHEX)$ tenemos que sus ejes radicales $AX$, $DE$ y $BC$ concurren en $Y$.

Los ejes radicales de $(ABC)$, $(CPQB)$ y $(APQ)$ concurren en $Y$ ya que $BC$ y $PQ$ se cortan en $Y$ por lo que $AY$ es el eje radical de $(APQ)$ con $(ABC)$ pero $AY$ corta a $(ABC)$ en $X$ por lo que $APQX$ es cíclico.

$A\widehat XQ=180-A\widehat PQ=90$ pero como $A\widehat XH=90$, $X$, $Q$ y $H$ son colineales.

Si $QH$ corta a $(ABC)$ en $Z'$ tenemos que $A\widehat XZ'=90$ por lo que $AZ'$ es diametro y $Z=Z'$ entonces $AP$ y $QH$ se cortan en $Z$ el cual esta en $(ABC)$.
NO HAY ANÁLISIS.

Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial-FOFO 7 años OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo OFO - Jurado-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020
COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber
Mensajes: 1303
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 7
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Re: Entrenamiento Ibero 2019 P15

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Lun 23 Dic, 2019 6:24 pm

Spoiler: mostrar
Notemos que $ADHE$ y $BCDE$ son cíclicos.
Sean $F$ el pie de altura desde $A$, $G$ el segundo punto de intersección de $\odot ADE$ y $\odot ABC$, $I=BC\cap DE$, y $M$ el punto medio de $BC$.
Tenemos que $\{B,C;F,I\}=-1$, de donde $IF\cdot IM=IB\cdot IC=\text{Pot}(I,\odot BCPQ)=IP\cdot IQ$, además, tenemos que $(BC,DE,AG)$ son los ejes radicales de $(\odot ABC,\odot BCDE,\odot ADHEG)$, de donde concurren, por lo que $A,G,I$ son colineales.
Invertimos por $I$ con radio $\sqrt{IB\cdot IC}$, entonces los pares $(A,G),~(B,C),~(D,E),~(F,M),~(P,Q)$ se intercambian, además, $AP\perp IP$ y $AF\perp IF$, de donde $APFI$ es cíclico, entonces $G,Q,M$ son colineales.
Por las reflexiones del ortocentro, $H$, $M$ y el opuesto diametral de $A$ en $\odot ABC$ son colineales, de donde $G,H,M$ son colineales, entonces $Q$, $H$ y el opuesto diametral de $A$ en $\odot ABC$ son colineales.
Por último, como $AH$ es diámetro de $\odot ADE$, $AH$ es altura en $ABC$, $AP$ es altura en $ADE$ y $\{BC,DE\}$ son antiparalelas respecto a $\{AB,AC\}$, tenemos que $AP$ es diámetro en $\odot ABC$.
Entonces $AP$ y $QH$ se cortan sobre el opuesto diametral de $A$ en $\odot ABC$.
Queda Elegantemente Demostrado

Mijail
Mensajes: 16
Registrado: Mié 11 Oct, 2017 9:56 pm
Nivel: 3
Ubicación: Peru, Lima

Re: Entrenamiento Ibero 2019 P15

Mensaje sin leer por Mijail » Sab 04 Ene, 2020 2:43 pm

Spoiler: mostrar
Solo por angulos es facil probar que el circuncentro del triangulo $ABC$, lo llamamos $O$, pasa por $AP$ entonces $AP$ corta al circuncirculo de $ABC$ en el opuesto de $A$ que es $A'$, luego si intersectamos a $A'H$ con el circuncirculo de $ABC$ y con $DE$, este lo corta en un punto $T$ y en $X$, respectivamente. Es facil ver que $APXT$ es ciclico y ahora aplicando eje radical en los circulos $(ATBC)$,$(CDEB)$ y $(ATEHD)$ tenemos que $AT$, $DE$ y $BC$ concurren en un punto $U$, luego por potencia en este punto $U$ tenemos que: $$BU.CU=AU.TU=PU.PX$$ De esto tenemos que $BXPC$ es ciclico entonces necesariamene $X=Q$ y con esto ya es claro que $AP$ y $QH$ concurren en $A'$ que esta en el circuncirculo del triangulo $ABC$

Hecho :mrgreen:

Responder