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Matías ha dibujado un cuadrado $ABCD$ con tinta negra y debe colorear con rojo todos los puntos $P$ del interior del cuadrado tales que el área del cuadrilátero $BCPA$ es igual al triple del área del cuadrilátero $APCD$. Describir cuál es la parte roja del dibujo y justificar.

Solución

Me pasé al lado oscuro

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Provincial Misiones Nivel 1.png

Trazamos las perpendiculares a los lados del cuadrado que pasan por $P$ y marcamos los puntos $E$, $F$, $G$ y $H$ como las intersecciones de dichas perpendiculares con los lados. Notemos que nos piden hallar todos los puntos $P$ tales que:

$$ \dfrac{Area(BCPA)}{Area(APCD)}=3$$

Pero podemos notar que $Area(BCPA)=Area(ABP)+Area(BCP)$ y $Area(APCD)=Area(APD)+Area(DPC)$.

Ahora ubicamos a los puntos del cuadrado en las siguientes coordenadas:
$A = (0;0)$ $B = (L;0)$ $C = (L;L)$ $D=(0;L)$ donde $L$ es el lado del cuadrado.
Y ubicamos al punto $P$ en un punto genérico $P = (x;y)$.

Es aquí donde hacemos las siguientes deducciones:
$Area(ABP) = \dfrac{AB\cdot PE}{2} = \dfrac{L\cdot y}{2}$
$Area(BCP) = \dfrac{BC\cdot PF}{2} = \dfrac{L\cdot (L-x)}{2}$
$Area(DPC) = \dfrac{CD\cdot PG}{2} = \dfrac{L\cdot (L-y)}{2}$
$Area(APD) = \dfrac{AD\cdot PH}{2} = \dfrac{L\cdot x}{2}$

En definitiva tenemos que hallar todos los puntos $P=(x;y)$ tales que cumplan que:

$$ \dfrac{Area(BCPA)}{Area(APCD)}=3 $$
$$ \dfrac{Area(ABP)+Area(BCP)}{Area(APD)+Area(DPC)}=3 $$
$$ \dfrac{\dfrac{L\cdot y}{2} + \dfrac{L\cdot (L-x)}{2}} { \dfrac{L\cdot (L-y)}{2}+\dfrac{L\cdot x}{2}} = \dfrac{L-x+y}{L+x-y}=3$$

De la última igualdad obtenemos la ecuación de la siguiente recta:

$L-x+y = 3\cdot(L+x-y) \implies y=x+\dfrac{L}{2}$

Y esa ecuación de la recta nos dice finalmente, que todos los puntos en Rojo serán lo que estén en el segmento que une los puntos medios de $AD$ y $CD$.

Esta se queda del lado claro

Solución:

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Llamamos $x$ al área de $ABC$, $y$ al área de $APC$ y $\ell$ al lado del cuadrado. Sabemos entonces que el área de $ACD$ es $x$ (porque $ABCD$ es un cuadrado). Entonces el área de $BCPA$ es $x+y$ y el área de $APCD$ es $x-y$, por dato sabemos que $x+y=3(x-y)$ de donde $2x=4y$, por lo que $x=2y$.

Bueno, ahora el problema está prácticamente resuelto, como $x$ es un valor fijo ya que es el área de $ABC$, tenemos que $y$ es un valor fijo. Entonces si llamamos $h$ a la altura desde $P$ en el triángulo $APC$, tenemos por la fórmula del área del triángulo que $y=\frac{h\cdot AC}{2}$, así que $h=\frac{2y}{AC}=\frac{x}{AC}$, entonces todos los puntos $P$ se mueven en una recta paralela a $AC$.

Para encontrar la recta, llamamos $M$ al punto medio de $CD$ y $N$ al punto medio de $DA$, entonces el área de $ADM$ es $\frac{1}{2}\ell \cdot \frac{\ell}{2}=\frac{\ell ^2}{4}$, que es $\frac{1}{4}$ del área del cuadrado, entonces el área de $BCPA$ es $\frac{3}{4}$ del área del cuadrado, así que $M$ es un posible punto $P$.
Pasa lo mismo con $N$, entonces la parte roja del dibujo es el segmento $MN$.