Primer Pretorneo 2015 NJ P1

Laureano U

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Primer Pretorneo 2015 NJ P1

Mensaje sin leer por Laureano U » Dom 17 May, 2020 6:01 pm

Un niño tiene $99$ varillas, todas de distintas longitudes, de $1,2,3,\ldots ,99$ centímetros de largo. Decidir si es posible armar el borde de un rectángulo poniendo todas las varillas una a continuación de la otra. (Si la respuesta es sí, indicar cómo se arma el rectángulo, si es no, explicar porqué.)

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Re: Primer Pretorneo 2015 NJ P1

Mensaje sin leer por Laureano U » Dom 17 May, 2020 7:25 pm

Entiendo que con el borde se refiere al perímetro...
La solución:
Spoiler: mostrar
Como en los rectángulos hay lados iguales, los llamo $l_1$ y $l_2$. Yo sé que si sumo las varillas, obtengo $4950$, y que ese será el perímetro del rectángulo (si es posible hacerlo). Ahora, yo sé que si tengo una cantidad múltiplo de 4 de números consecutivos, puedo repartirlos en 2 grupos iguales (Ej: si tengo $5,6,7 y 8$, puedo repartirlo en $5$ y $8$ y en $6$ y $7$). Por lo que si de las $99$ varillas quito tres o siete o un número con resto 3 en la división por 4, me quedará una cantidad de varillas multiplo de 4, y si es consecutiva puedo repartirla como ya aclaré. Por lo que si el $l_1$ vale $3$, puede ser $1$ y $2$ de un lado, y $3$ del otro, logrando la misma medida en ambas partes. Por lo que me quedarán $96$ varillas, pudiendo repartirlas en los $l_2$ iguales, con los restos 0 y 3 en la división por 4 ($4,7,8,11,12$, etc.), y en el otro $l_2$ los restos 1 y 2 en la división por 4 (los restantes), de manera que ambos suman 3 en la división por 4, y como siempre voy a sumar de a 3 en la división por 4, los dos lados me van a quedar iguales.
Rta: Sí es posible, un lado va a medir $3$ (con las varillas de $2$ Y $1$ en un caso, y en el otro con la varilla de $3$) y el otro va a medir $2472$ (con las varillas resto $0$ y $3$ en la división por $4$ en un caso, y en el otro con las varillas resto $1$ y $2$ en la división por $4$).

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