OMEO 2018 N3 P2

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MateoCV

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OMEO 2018 N3 P2

Mensaje sin leer por MateoCV » Lun 29 Jun, 2020 11:44 pm

Sea $\triangle ABC$ un triángulo equilátero. Sea $X$ un punto en $AB$, $Y$ un punto en $BC$ y $Z$ un punto en $CA$, de forma que el triángulo $\triangle XYZ$ también sea equilátero. Demostrar que: $$\frac{\text{Área}(\triangle XYZ)}{\text{Área}(\triangle ABC)}\geq \frac{1}{4}$$
$2^{82589933}-1$ es primo

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Dauphineg

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Re: OMEO 2018 N3 P2

Mensaje sin leer por Dauphineg » Mar 30 Jun, 2020 3:41 pm

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Primero vamos a demostrar que debe ocurrir que $\overline{XB}=\overline{YC}=\overline{ZA}$
Sea $P\neq X$ un punto tal que el triangulo $PZY$ es equilátero, los puntos $P$ y $C$ quedan el el mismo semiplano determinado por la recta $ZY$ y ademas $\angle YCZ=\angle YCZ=YPZ=60^{\circ} $ así que el cuadrilátero $ZYCP$ es cíclico $\Rightarrow \angle PCY=180^{\circ}-\angle PZY=180^{\circ}- 60^{\circ}=120^{\circ}$ tambien tenemos que $\angle PYX=\angle PYZ +\angle ZYX= 60^{\circ}+60^{\circ}=120^{\circ}\Rightarrow$
$60^{\circ}= \angle CYP+ \angle XYB$ y también $60^{\circ}= \angle CYP+ \angle CPY \Rightarrow \angle XYB=\angle CPY= \angle CZY$
Ademas $\angle ZCY=\angle XBY=60^{\circ}$ asi que los triángulos $ZCY$ y $XBY$ son semejantes pero como tienen un par de lados homólogos que son iguales ($\overline{YZ}=\overline{YX}$) entonces serán triángulos equivalentes y por los tanto $\overline{XB}=\overline{YC}$ y análogamente se probaría que $\overline{XB}=\overline{ZA}$ y se completa la demostración
$Area (XBY)=\overline{XB}.\overline{BY}.(sen 60^{\circ}).\frac{1}{2}\leq$ (usando $AM.GM.$)
$\leq \frac{1}{4}.\left [\overline{XB}+\overline{BY} \right ] ^{2}.(sen 60^{\circ}).\frac{1}{2}=\frac{1}{4}.\left [\overline{YC}+\overline{BY} \right ] ^{2}.(sen 60^{\circ}).\frac{1}{2}=\frac{1}{4}.\left [\overline{BC}\right ] ^{2}.(sen 60^{\circ}).\frac{1}{2}=\frac{1}{4}.Area (ABC)$
Como los triángulos $AXZ,BYX$ y $CZY$ son congruentes tendrán igual área asi que: $\rightarrow Area (ABC)=Area (XYZ)+3.Area (XBY)\leq Area (XYZ)+\frac{3}{4}.Area (ABC)\rightarrow \frac{1}{4}.Area (ABC)\leq Area (XYZ) \Leftrightarrow $
$\Leftrightarrow \frac{1}{4}\leq \frac{Area (XYZ)}{Area (ABC)}$
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