ángulos en cuadrilátero

betisista
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ángulos en cuadrilátero

Mensaje sin leer por betisista » Dom 13 Sep, 2020 4:37 pm

Hola :
Soy nuevo en el foro y os quiero proponer un problema , para resolver en geometría euclídea sin trigonometría

Sea dado un cuadrilátero convexo $ABCD$

$\angle CAD=\angle BDC=3x$
$\angle ACB=\angle BAC=5x$
$\angle CBD=2x$

Determinar el valor de $x$

Saludos

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Tomás Morcos Porras

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Re: ángulos en cuadrilátero

Mensaje sin leer por Tomás Morcos Porras » Dom 13 Sep, 2020 9:34 pm

Bienvenido! Creo que puede faltar algún dato en el enunciado.
Spoiler: mostrar
Llamo $P$ a la intersección de las diagonales de $ABCD$.
Como $\hat{APD}=\hat{BPC}$, se da que $\hat{ADB}+3x=5x+2x\implies \hat{ADB}=4x$. Además, $\hat{APB}+\hat{BPC}=\hat{BPC}+2x+5x\implies \hat{APB}=7x$
Todas las demás ecuaciones que pude hallar terminan de alguna manera en que $x=\frac{180}{12+\hat{ABD}}$, con $\hat{ABD}+5=\hat{ACD}+3=\hat{APD}$, que dependen todas del valor de $\hat{ABD}$, que no pude sacar.
Aún así, yo no soy muy bueno en geometría, por lo que dejo que alguien más capacitado determine la eventual posibilidad o imposibilidad del problema. :)
¡Feliz cumpleaños a todos los que cumplen hoy y feliz no cumpleaños a todos los que no cumplen hoy!

betisista
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Re: ángulos en cuadrilátero

Mensaje sin leer por betisista » Lun 14 Sep, 2020 9:37 am

Hola :
Esta problema no se resuelve de manera trivial , pero lo que si es seguro es que es resoluble mediante trazos auxiliares .
He estado trabajando con él y he conseguido montar mediante trazos la figura que os enlazo , por si veis algo que se me escapa : https://e.pcloud.link/publink/show?cod ... AqkcN9E5k

Saludos

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Gianni De Rico

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Re: ángulos en cuadrilátero

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Lun 14 Sep, 2020 12:50 pm

Viendo tu dibujo me parece que es conocido el problema ("el más difícil de la geometría euclídea" o algo así). Si no me equivoco, anda por algún lado del foro. Capaz más tarde lo busco a ver si lo encuentro.
Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850

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DiegoLedesma
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Re: ángulos en cuadrilátero

Mensaje sin leer por DiegoLedesma » Mié 16 Sep, 2020 9:36 pm

Si bien en primera instancia logré progresos a través de trazos auxiliares, para concluir la resolución (puedo publicarla, si la necesitaras) apliqué trigonometría; obteniendo entonces como resultado...
Spoiler: mostrar
$x=10º$

betisista
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Re: ángulos en cuadrilátero

Mensaje sin leer por betisista » Jue 17 Sep, 2020 5:53 am

Hola :
A mí me ha ocurrido lo mismo ; por si os interesa he recibido una resolución realmente interesante de esta dirección:

https://www.geogebra.org/m/rapwkags

Muchas gracias
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