IGO 2020 - Nivel Medio - P2

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Turko Arias

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IGO 2020 - Nivel Medio - P2

Mensaje sin leer por Turko Arias »

Sean $ABC$ un triángulo isósceles ($AB = AC$) y $O$ su circuncentro. Sean $N$ el punto medio del segmento $BC$ y $M$ el simétrico de $N$ con respecto al lado $AC$. Sea $T$ un punto tal que $ANBT$ es un rectángulo. Demostrar que $\angle OMT=\dfrac{1}{2}\angle BAC$.
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Dauphineg

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Re: IGO 2020 - Nivel Medio - P2

Mensaje sin leer por Dauphineg »

Esta mal lo que se pide probar, debería decir: Demostrar que $\frac{1}{2} \angle BAC = OMT$

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Dauphineg

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Re: IGO 2020 - Nivel Medio - P2

Mensaje sin leer por Dauphineg »

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Como $O$ es el circuncentro del triángulo $ABC \Rightarrow \overline{OA}=\overline{OC}\Rightarrow \angle OAC=\angle OCA$ y también $\overline{OA}=\overline{OC}$
Además por ser $\overline{BA}=\overline{CA}$ y $N$ punto medio de $\overline{BC}$ entonces los triángulos rectángulos $ANB$ y $ANC$ son congruentes, así será $\angle OAC=\angle OAB=\frac{1}{2}\angle BAC$
De la simetría enunciada tenemos que los triángulos rectángulos $AMC$ y $ANC$ son congruentes y también $\angle NAC=\angle CAM$, luego $\angle OCA=\angle OAC=\angle NAC=\angle CAM \Rightarrow \overline{OC}\parallel \overline{AM}\Rightarrow \angle OCM=90^{\circ}$
Como $NATB$ es un rectángulo tenemos que $\overline{TA}=\overline{BN}=\overline{CN}=\overline{MC}$ y además $\angle OAT=90^{\circ}$
Los triángulos rectángulos $OAT$ y $OCM$ son congruentes ya que tienen catetos equivalentes, de acá concluimos que $\overline{OT}=\overline{OM}$ y también $\angle MOC=\angle TOA$, pero entonces ocurre que $\angle MOT=\angle COA$ y esto nos dice que los triángulos isósceles $MOT$ y $COA$ son semejantes asi que $\angle OMT=\angle OCA=\frac{1}{2}\angle BAC$ y estamos
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