Problema 3 Nivel 1 Mayo 2020

[Joacoini]

Una hormiga despistada hace el siguiente recorrido: comenzando en el punto $A$ va $1\text{ cm}$ al norte, después $2\text{ cm}$ al este, a continuación $3\text{ cm}$ al sur, luego $4\text{ cm}$ al oeste, de inmediato $5\text{ cm}$ al norte, continúa $6\text{ cm}$ al este, y así sucesivamente, finalmente $41\text{ cm}$ al norte y termina en el punto $B$. Calcular la distancia entre $A$ y $B$ (en línea recta).

[bruno]

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Si ubicamos a la hormiga en un plano cartesiano de modo que el punto $A$ sea el origen $(0;0)$; entonces se puede pensar que la direccion norte (positivo)-sur(negativo) es la direccion del eje y, mientras que la direccion este(positivo)-oeste(negativo) es la direccion del eje x. Luego, los movimientos de la hormiga se pueden descomponer de acuerdo a la direccion de los ejes: en el eje y siempre avanza una cantidad impar de centimetros mientras que en el eje x siempre avanza una cantidad par de centimetros. Ademas como los movimientos en la direccion de cada eje es independiente de los movimientos en la direccion del otro eje, la coordenada del punto $B$ final se puede obtener:

en el eje y: $+1-3+5-7...-39+41$
en el eje x : $+2-4+6-8...+38-40$

Para calcular rapidamente cada operacion puedo agrupar, de dos en dos, terminos consecuentivos que cuya suma es siempre $(-2)$

en el eje y: agrupo $(+1-3)$; $(+5-7)$;...; $(+37-39)$. De este modo tengo $10$ pares cuya suma es $-2*10=-20$; sumado al $41$ que quedo sin agrupar obtengo $-20+41=21$

en el eje x: agrupo $(+2-4)$;$(+6-8)$;...; $(+38-40)$.De este modo tengo $10$ pares cuya suma es $-2*10=-20$


De modo que las coordenadas del punto final $B$ son $(-20;21)$. Luego, como $A$ era el punto de origen, la distancia $AB$ es directamente la raiz cuadrada de $20^2+21^2$; la cual se puede obtener directamente sabiendo que $(20;21;29)$ es una terna pitagorica primitiva.

Luego, la distancia $AB$ en linea recta es $29$ centimetros.