Problema 4 Nivel 2 Mayo 2020

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Turko Arias

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Problema 4 Nivel 2 Mayo 2020

Mensaje sin leer por Turko Arias »

Sean $ABC$ un triángulo rectángulo, recto en $B$, y $M$ el punto medio del lado $BC$. Sea $P$ el punto en la
bisectriz del ángulo $\angle BAC$ tal que $PM$ es perpendicular a $BC$ ($P$ está fuera del triángulo $ABC$).
Determinar el área del triángulo $ABC$ si $PM=1$ y $MC=5$.
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DiegoLedesma
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Re: Problema 4 Nivel 2 Mayo 2020

Mensaje sin leer por DiegoLedesma »

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Sea $D$ el punto en que la prolongación de $PM$ corta a la hipotenusa $AC$, y sea $MD=x$. Puede observarse que $\overset{\bigtriangleup}{ADP}$ es isósceles, ya que $PD\parallel AB$ y luego $\hat{APD}=\hat{PAB}=\hat{DAP}$, por lo que $AD=x+1$ y además $\overset{\bigtriangleup}{DMC}$ $\sim$ $\overset{\bigtriangleup}{ABC}$, siendo $r=\frac{\overset{\bigtriangleup}{ABC}}{\overset{\bigtriangleup}{DMC}}=2$ ($r$: razón de semejanza), por lo que $D$ será punto medio de la hipotenusa, y $AD=DC=x+1$. Luego, aplicando Pitágoras en $\overset{\bigtriangleup}{DMC}$: $(x+1)^{2}=x^{2}+5^{2}$ $\Rightarrow$ $x=12$, y con esto: $AB=2DM=24$. Luego, área de $\overset{\bigtriangleup}{ABC}=\frac{AB.BC}{2}=\frac{24.10}{2}=120$.

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