Maratón de Problemas de Geometría

Re: Maratón de Problemas de Geometría

UNREAD_POSTpor jujumas » Mié 08 Feb, 2017 6:23 pm

No tengo ninguno complejo para subir, así que va uno simple.
Problema 93:
Sean $AD$, $BE$ y $CF$ las medianas de un triángulo $ABC$ de circuncentro $O$.
Demostrar que los circuncírculos de $ADO$, $BEO$ y $CFO$ se cortan en un punto aparte de $O$.

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Re: Maratón de Problemas de Geometría

UNREAD_POSTpor Julian_Ferres » Jue 09 Feb, 2017 12:56 am

lucasdeamorin escribió:Solucion problema 90:
Spoiler: Mostrar
Surge que $AF^2=(\frac{AC\cdot AB}{AM})^2=\frac{225}{AB^2+AC^2-\frac{AC^2}{4}}=\frac{225}{34-\frac{49}{4}}=\frac{300}{29}$

El problema está bien pero ojo que la última cuenta es con $\frac{1}{2} AB^2+ \frac{1}{2} BC^2$ y da $\frac{900}{19}$

Dejo mi solución (aunque en inglés) ya que no uso inversión:

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1372149

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Re: Maratón de Problemas de Geometría

UNREAD_POSTpor Julian_Ferres » Sab 18 Feb, 2017 2:38 pm

Solución problema 93:
Spoiler: Mostrar
Vamos a invertir por $\odot{ABC}$, notemos que los puntos $A,B,C$ permanecen fijos, y que las circunferencias $\odot{AOD},\odot{BOE},\odot{COF}$ se van a rectas, lo que hay que probar es que estas rectas son concurrentes.

Notemos que las rectas mencionadas pasan por $A,B,C$ respectivamente.

Ademas esas rectas pasan por $D',E',F'$ respectivamente, donde $X'$ es la imagen de $X$ por la inversión.

Notemos ademas por definición que $D'$ es la intersección de las tangentes por $B$ y $C$.

Esto nos dice que $AD'$ es tambien simediana por $A$ en el triangulo $ABC$. Por lo tanto, dicha recta corta al lado $BC$ en razon $\frac{AB^2}{AC^2}$. Analogamente $BE'$ y $CF'$ cortan a los lados $CA$ y $AB$ en razones $\frac{BC^2}{BA^2}$ y $\frac{AC^2}{CB^2}$ respectivamente.

Luego por Ceva es evidente que estas rectas concurren. $\blacksquare$
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Re: Maratón de Problemas de Geometría

UNREAD_POSTpor Julian_Ferres » Sab 18 Feb, 2017 2:49 pm

Problema 94:

Sean $a,b$ y $c$ los lados de un triangulo.
Probar que:

$\frac{\sqrt{b+c-a}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{c+a-b}}{\sqrt{c}+\sqrt{a}-\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{a+b-c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}}\leq 3$
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