Maratón de Problemas de Geometría

jujumas

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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por jujumas » Mié 08 Feb, 2017 6:23 pm

No tengo ninguno complejo para subir, así que va uno simple.
Problema 93:
Sean [math], [math] y [math] las medianas de un triángulo [math] de circuncentro [math].
Demostrar que los circuncírculos de [math], [math] y [math] se cortan en un punto aparte de [math].

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Julian_Ferres

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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por Julian_Ferres » Jue 09 Feb, 2017 12:56 am

lucasdeamorin escribió:Solucion problema 90:
Spoiler: mostrar
Surge que [math]
El problema está bien pero ojo que la última cuenta es con [math] y da [math]

Dejo mi solución (aunque en inglés) ya que no uso inversión:

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1372149
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Julian_Ferres

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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por Julian_Ferres » Sab 18 Feb, 2017 2:38 pm

Solución problema 93:
Spoiler: mostrar
Vamos a invertir por [math], notemos que los puntos [math] permanecen fijos, y que las circunferencias [math] se van a rectas, lo que hay que probar es que estas rectas son concurrentes.

Notemos que las rectas mencionadas pasan por [math] respectivamente.

Ademas esas rectas pasan por [math] respectivamente, donde [math] es la imagen de [math] por la inversión.

Notemos ademas por definición que [math] es la intersección de las tangentes por [math] y [math].

Esto nos dice que [math] es tambien simediana por [math] en el triangulo [math]. Por lo tanto, dicha recta corta al lado [math] en razon [math]. Analogamente [math] y [math] cortan a los lados [math] y [math] en razones [math] y [math] respectivamente.

Luego por Ceva es evidente que estas rectas concurren. [math]

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Julian_Ferres

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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por Julian_Ferres » Sab 18 Feb, 2017 2:49 pm

Problema 94:

Sean [math] y [math] los lados de un triangulo.
Probar que:

[math]

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Gianni De Rico

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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mié 24 May, 2017 1:21 am

Solución 94
Spoiler: mostrar
Vamos a demostrar sin pérdida de generalidad que [math].

Entonces tenemos (en una demostración con mucho álgebra y muy poca geometría):
[math]

Elevando al cuadrado nos queda:
[math]
[math]
[math]

Emprolijando un poco es:
[math]
[math]
[math]
[math]

Elevando al cuadrado otra vez:
[math]
[math]
[math]
[math]
[math]
[math]

De donde finalmente obtenemos:
[math]

Y como esta es una desigualdad que sabemos se cumple en todos los triángulos, estamos.

De forma análoga demostramos [math] y [math].

Por comodidad vamos a decirles [math], [math] y [math] a las fracciones. Tenemos [math], [math] y [math] por lo que [math] con lo que probamos que:

[math]

Y el problema está resuelto.
[math]

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Gianni De Rico

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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mié 24 May, 2017 1:31 am

Problema 95

En el triángulo [math], sea [math] el punto de concurrencia de las cevianas [math], [math] y [math] ([math], [math] y [math] pertenecientes a los lados del triángulo en su notación tradicional), y sea [math] un punto del plano del triángulo. Demostrar que:

[math]

en donde [math] es la potencia de [math] respecto del cincurcírculo de [math] y [math] representa el área del triángulo [math].
[math]

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MateoCV

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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por MateoCV » Mié 24 May, 2017 1:31 pm

Gianni De Rico escribió:Solución 94
Spoiler: mostrar
De donde finalmente obtenemos:
[math]

Y como esta es una desigualdad que sabemos se cumple en todos los triángulos, estamos.
Spoiler: mostrar
En realidad, no se cumple para todos los triángulos. Fijate que esa desigualdad es lo mismo que [math] por lo que, por ejemplo si [math] esa desigualdad no se verifica
[math] es primo

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