Maratón de Problemas de Geometría

jujumas

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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por jujumas » Mié 08 Feb, 2017 6:23 pm

No tengo ninguno complejo para subir, así que va uno simple.
Problema 93:
Sean [math], [math] y [math] las medianas de un triángulo [math] de circuncentro [math].
Demostrar que los circuncírculos de [math], [math] y [math] se cortan en un punto aparte de [math].

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julianferres_

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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por julianferres_ » Jue 09 Feb, 2017 12:56 am

lucasdeamorin escribió:Solucion problema 90:
Spoiler: mostrar
Surge que [math]
El problema está bien pero ojo que la última cuenta es con [math] y da [math]

Dejo mi solución (aunque en inglés) ya que no uso inversión:

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1372149
1  

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julianferres_

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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por julianferres_ » Sab 18 Feb, 2017 2:38 pm

Solución problema 93:
Spoiler: mostrar
Vamos a invertir por [math], notemos que los puntos [math] permanecen fijos, y que las circunferencias [math] se van a rectas, lo que hay que probar es que estas rectas son concurrentes.

Notemos que las rectas mencionadas pasan por [math] respectivamente.

Ademas esas rectas pasan por [math] respectivamente, donde [math] es la imagen de [math] por la inversión.

Notemos ademas por definición que [math] es la intersección de las tangentes por [math] y [math].

Esto nos dice que [math] es tambien simediana por [math] en el triangulo [math]. Por lo tanto, dicha recta corta al lado [math] en razon [math]. Analogamente [math] y [math] cortan a los lados [math] y [math] en razones [math] y [math] respectivamente.

Luego por Ceva es evidente que estas rectas concurren. [math]

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julianferres_

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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por julianferres_ » Sab 18 Feb, 2017 2:49 pm

Problema 94:

Sean [math] y [math] los lados de un triangulo.
Probar que:

[math]

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Gianni De Rico

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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mié 24 May, 2017 1:21 am

Solución 94
Spoiler: mostrar
Vamos a demostrar sin pérdida de generalidad que [math].

Entonces tenemos (en una demostración con mucho álgebra y muy poca geometría):
[math]

Elevando al cuadrado nos queda:
[math]
[math]
[math]

Emprolijando un poco es:
[math]
[math]
[math]
[math]

Elevando al cuadrado otra vez:
[math]
[math]
[math]
[math]
[math]
[math]

De donde finalmente obtenemos:
[math]

Y como esta es una desigualdad que sabemos se cumple en todos los triángulos, estamos.

De forma análoga demostramos [math] y [math].

Por comodidad vamos a decirles [math], [math] y [math] a las fracciones. Tenemos [math], [math] y [math] por lo que [math] con lo que probamos que:

[math]

Y el problema está resuelto.
[math]

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Gianni De Rico

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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mié 24 May, 2017 1:31 am

Problema 95

En el triángulo [math], sea [math] el punto de concurrencia de las cevianas [math], [math] y [math] ([math], [math] y [math] pertenecientes a los lados del triángulo en su notación tradicional), y sea [math] un punto del plano del triángulo. Demostrar que:

[math]

en donde [math] es la potencia de [math] respecto del cincurcírculo de [math] y [math] representa el área del triángulo [math].
[math]

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MateoCV

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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por MateoCV » Mié 24 May, 2017 1:31 pm

Gianni De Rico escribió:Solución 94
Spoiler: mostrar
De donde finalmente obtenemos:
[math]

Y como esta es una desigualdad que sabemos se cumple en todos los triángulos, estamos.
Spoiler: mostrar
En realidad, no se cumple para todos los triángulos. Fijate que esa desigualdad es lo mismo que [math] por lo que, por ejemplo si [math] esa desigualdad no se verifica
$2^{82589933}-1$ es primo

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Gianni De Rico

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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Lun 28 Ene, 2019 9:01 pm

Ahora sí

Solución 94
Spoiler: mostrar
Como $a,b,c$ son los lados de un triángulo tenemos $a,b,c>0$, además de que cumplen la desigualdad triangular. Entonces $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=a+b+2\sqrt{ab}>a+b=(\sqrt{a+b})^2$, por lo que $\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{a+b}>\sqrt{c}\Rightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}>0$, y razonando de la misma manera tenemos que todos los denominadores son positivos.
Veamos que $\sqrt{1+2g}\leqslant 1+g$. En efecto, elevando al cuadrado lo que queremos probar es $1+2g\leqslant 1+2g+g^2$, que ocurre si y sólo si $0\leqslant g^2$, lo cual es cierto para todo real $g$. (*)
Sean $x=\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a}$, $y=\sqrt{c}+\sqrt{a}-\sqrt{b}$ y $z=\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}$.
Luego $b+c-a=\left (\frac{z+x}{2}\right )^2+\left (\frac{x+y}{2}\right )^2-\left (\frac{y+z}{2}\right )^2=x^2-\frac{(x-y)(x-z)}{2}$.
Por lo tanto, usando (*) tenemos $\frac{\sqrt{b+c-a}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a}}=\sqrt{1-\frac{(x-y)(x-z)}{2x^2}}\leqslant 1-\frac{(x-y)(x-z)}{4x^2}$. Análogamente, $\frac{\sqrt{c+a-b}}{\sqrt{c}+\sqrt{a}-\sqrt{b}}\leqslant 1-\frac{(z-x)(z-y)}{4z^2}$ y $\frac{\sqrt{a+b-c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}}\leqslant 1-\frac{(y-z)(y-x)}{4y^2}$. Sumando estas desigualdades basta ver que $\frac{(x-y)(x-z)}{x^2}+\frac{(y-z)(y-x)}{y^2}+\frac{(z-x)(z-y)}{z^2}\geqslant 0$.
Supongamos WLOG $x\leqslant y\leqslant z$, luego $\frac{(x-y)(x-z)}{x^2}=\frac{(y-x)(z-x)}{x^2}\geqslant \frac{(y-x)(z-y)}{y^2}=-\frac{(y-x)(y-z)}{y^2}$, por lo que $\frac{(x-y)(x-z)}{x^2}+\frac{(y-x)(y-z)}{y^2}\geqslant 0$. Además, $\frac{(z-x)(z-y)}{z^2}\geqslant 0$. Sumando estas desigualdades tenemos lo pedido.
[math]

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Gianni De Rico

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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mar 29 Ene, 2019 12:56 am

Problema 95 nuevo
Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo que tiene una circunferencia inscripta (tangente a sus $4$ lados) y sea $M$ el centro de dicha circunferencia. La recta perpendicular a $AM$ por $A$ y la perpendicular a $BM$ por $B$ se cortan en el punto $E$, la perpendicular a $BM$ por $B$ y la perpendicular a $CM$ por $C$ se cortan en el punto $F$, la perpendicular a $CM$ por $C$ y la perpendicular a $DM$ por $D$ se cortan en el punto $G$, la perpendicular a $DM$ por $D$ y la perpendicular a $AM$ por $A$ se cortan en el punto $H$.
Demostrar que las rectas $EG$ y $FH$ pasan por el punto $M$.
[math]

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Joacoini

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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por Joacoini » Mar 29 Ene, 2019 2:12 am

Solución 95 nuevo
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Voy a demostrar que $HF$ pasa por $M$ (Ya que $EG$ lo hace es análogo).

$M$ es la intersección de las 4 bisectrices de $ABCD$

Es fácil notar que $DHAM$, $AEBM$, $BFCM$ y $CGDM$ son ciclicos. (Marco los ángulos de $90$ opuestos en el dibujo)

$\hat A, \hat B, \hat C$ y $\hat D$ son los angulos del cuadrilatero.

$E\hat FM=B\hat FM=B\hat CM=\frac{\hat C}{2}$

Sea $F'$ la intersección de $HM$ con $EB$.

$F'\hat HE=M\hat HA=M\hat DA=\frac{\hat D}{2}$

$H\hat EF'=A\hat EB=M\hat AB+M\hat BA=\frac{\hat A+\hat B}{2}$

$E\hat F 'H=180-F'\hat HE-H\hat EF'=180-\frac{\hat A+\hat B+\hat D}{2}=\frac{\hat C}{2}=E\hat FM$

$F'=F$ por lo que $E, M$ y $F$ son colineales.
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