Maratón de Problemas de Geometría

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Fran5

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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por Fran5 » Mar 19 May, 2020 7:19 pm

Solucion 150 (editada)
Spoiler: mostrar
Sea $H' = DE \cap BH$. Usaremos que $B$ es el centro de la circunferencia de $ADE$

Usemos el dato de que $E$ está en $AC$
Por angulitos tenemos que $\angle ADH' = \angle ADE = \frac{1}{2} \angle ABE = \angle ABH'$ con lo que $ADBH'$ es cíclico

Usemos el dato de que $AD$ es tangente
Por angulitos tenemos que $\angle BDA = \angle BAD = C$ con lo que
$\angle BAH' = \angle BDH' = \angle BDA - \angle H'DA = C - \angle H'DA = C - \angle H'BA = C - (90 - A) = A+C - 90 = 90 - B = \angle BAH$

Con lo que $H'$ está en la recta $AH$, es decir que $H' = H$ y $D,H,E$ están alineados
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joa.fernandez

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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por joa.fernandez » Mar 19 May, 2020 7:29 pm

Qué raro llegando tarde
Solución 150:
Spoiler: mostrar
Sean $\widehat{ABE} = 2\alpha$ y $\widehat{DAB}=\beta$.
Como $BA=BE=BD$, sabemos que $B$ es el centro de la circunscripta del $\triangle DAE$, por lo que, por ángulo central $\widehat{ADE}=\alpha$. Además, como el $\triangle{ABE}$ es isósceles, $\widehat{BAE}= 90° -\alpha$, por lo que $\widehat{AED}=180°-(\beta + 90°-\alpha +\alpha)=90°-\beta$ por suma de ángulos internos.
Ahora, sean $H_1$ y $H_2$ los pies de las alturas respecto a $A$ y $B$ del $\triangle ABC$ respectivamente.
Por semiinscritos, $\widehat{DAB}=\widehat{ACB}=\widehat{AH_1C}= \beta$, por lo que $\widehat{H_1AC}=180°-(90°+\beta)= 90°-\beta$ por suma de ángulos internos. Además, como $\triangle ABE$ es isósceles, sabemos que $H_2$ y $H$ pertenecen a la mediatriz de $AE$, por lo que el $\triangle AHE$ es isósceles. Luego, $\widehat{HAE}=\widehat{HEA}=90°-\beta$
Concluyendo, sabiendo que $\widehat{AED}=\widehat{AEH}$, tenemos que $D$, $H$ y $E$ son colineales, finalizando la demostración. $\blacksquare$
Última edición por joa.fernandez el Mié 20 May, 2020 12:53 pm, editado 2 veces en total.
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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por Fran5 » Mar 19 May, 2020 7:39 pm

Tu solucion está buena Joa :D
De hech la mía está mal :lol: :lol: :lol:
Te toca proponer
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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por joa.fernandez » Mar 19 May, 2020 8:47 pm

A pedido de @Fran5, dejo este :D

Problema 151:

Sea $O$ el circuncentro y $H$ el ortocentro del $\triangle ABC$ acutángulo tal que $BC>CA$. También sea $D$ el pie de la altura del $\triangle ABC$ desde $C$. La perpendicular a $OD$ que pasa por $D$ intersecta a $AC$ en $P$.
Demostrar que $\widehat{DHP}=\widehat{BAC}$.

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enigma1234

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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por enigma1234 » Mar 26 May, 2020 4:12 am

Solución 151:
Spoiler: mostrar
Sea $C,H'=CH\cap \odot(ABC)$, $E,F=DP.\cap \odot(ABC)$ y $Q=DP\cap H'B$.
Como $OD\perp DP$ entonces $D$ es punto medio de $EF\to$ por el Teorema de la Mariposa $D$ es punto medio de $PQ$.
Es conocido que $D$ es punto medio de $HH'$, entonces los triángulos $\triangle DHP$ y $\triangle DH'Q$ son congruentes $\to \angle DHP=\angle DH'Q=\angle CH'B=\angle BAC$.
1.png
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enigma1234

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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Mensaje sin leer por enigma1234 » Mar 26 May, 2020 11:22 pm

Problema 152:
Sea $ABCD$ un paralelogramo. La circunferencia de diámetro $AB$ intersecta a las líneas $BC,BD$ en los puntos $E$ y $F$ respectivamente.($E$ y $F$ distintos de $B$).
Sea $E'$ la reflexión de $E$ con respecto a $B$. Si $DE'$ y $FC$ se intersectan en el punto $K$, demostrar que $\angle ACB=\angle KAB$.

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