Maratón de Problemas de Geometría

[Fran5]

Problema 230

Se tiene un triángulo acutángulo $ABC$. Sea $P$ un punto interior tal que la recta $AP$ es perpendicular a $BC$. Se trazan dos rectas por $P$, paralelas a $AC$ y $AB$, que cortan a $BC$ en $D$ y $E$, respectivamente. Los puntos $X \neq A$ e $Y \neq A$ están en los circuncírculos de $ABD$ y $ACE$, respectivamente, tales que $DA = DX$ y $EA = EY$. Mostrar que los puntos $B,X,C,Y$ están en una misma circunferencia.

[Felibauk]

Solución $230$

Spoiler: mostrar

Sea $H$ en $BC$ tal que $AH$ es altura. Sea $A'$ el reflejo de $A$ por $H$.
Notemos que por Thales, $\frac {BH}{EH} = \frac {CH}{DH}$. Luego, $BH \cdot DH = CH \cdot EH$, por lo que $H$ pertenece al eje radical entre $(ABD)$ y $(ACE) \Rightarrow AH$ es eje radical.
Ahora bien, notemos que por isósceles y arco capaz, $\measuredangle DAX = \measuredangle AXD = \measuredangle ABD = \measuredangle DBX$. Análogamente, $\measuredangle ACE= \measuredangle ECY$. Por la reflexión, tenemos que $\measuredangle ABD = \measuredangle DBA' =\measuredangle DBX$ y $\measuredangle ACE = \measuredangle ECA' =\measuredangle ECY$. Por lo tanto, $A',B,X$ y $A',C,Y$ son colineales.
Como $A' \in AH$ que es eje radical, vale que $A'B \cdot A'X = A'C \cdot A'Y$, de lo cual concluimos que $$B,X,C,Y \, \text{son concíclicos} \blacksquare$$

[Felibauk]

Problema $231$

Dos circunferencias $\omega _1, \omega _2$ se intersecan en $A$ y $B$. Probar que el lugar geométrico de los puntos $P$ tales que $\text{Pot}(P,\omega _1) = k \cdot \text{Pot}(P,\omega _2)$, con $k$ constante, es una circunferencia que pasa por $A$ y $B$.