Maratón de Problemas de Geometría

[Fran5]

Problema 164

En un triángulo $ABC$, sea $I$ su incentro, y $D$, $E$ y $F$ los puntos de tangencia del incírculo en $BC$, $AC$ y $AB$ respectivamente. Demostrar que las circunscriptas de $AID$, $BIE$ y $CIF$ concurren en otro punto distinto de $I$.

[Gianni De Rico]

Lo prometido @Monazo

Solución 164

Spoiler: mostrar

Tenemos $3$ circunferencias que pasan por $I$, el problema pide a gritos una inversión.
Bueno, invertimos por el incírculo. Entonces $D,E,F$ quedan fijos, y $A,B,C$ van a $A',B',C'$, los puntos medios de $EF,FD,DE$, respectivamente, así que las circunferencias van a las rectas $DA',EB',FC'$, que son medianas del triángulo $DEF$, así que concurren en su baricentro $G$. Entonces las circunferencias concurren en el inverso de $G$, que obviamente es distinto de $I$.

[Gianni De Rico]

Problema 165

Sean $A,B,C,D$ puntos distintos que aparecen en ese orden sobre una recta, y sean $\Omega _1$ la circunferencia de diámetro $AC$, y $\Omega _2$ la circunferencia de diámetro $BD$.
$\Omega _1$ y $\Omega _2$ se cortan en los puntos $X$ e $Y$, la recta $XY$ corta al segmento $BC$ en el punto $Z$. Sea $P\neq Z$ un punto en la recta $XY$, la recta $CP$ corta nuevamente a $\Omega _1$ en $M$, y la recta $BP$ corta nuevamente a $\Omega _2$ en $N$.
Demostrar que $AM,DN,XY$ son concurrentes.

[Nahu]

Solución 165

Spoiler: mostrar

Tenemos que $XY$ es el eje radical de $Ω_1$ y $Ω_2$, por lo tanto $PM.PC=PB.PN \Rightarrow M,B,C$ y $N$ están en una circunferencia.
Sea $N\hat{D}C=\kappa$ como $B\hat{N}D=A\hat{M}C=90^{\circ}$, tenemos que $N\hat{M}C=N\hat{B}C=90^{\circ}-\kappa$. Por lo tanto, $N\hat{M}A+N\hat{D}A=180^{\circ} \Rightarrow A, M, N$ y $D$ están en una circunferencia, entonces si $R$ es la intersección de $AM$ y $DN$, tenemos que $R$ tiene la misma potencia en $Ω_1$ y $Ω_2$, por lo que $R$ está en el eje radical $XY$.

[Monazo]

Te toca proponer problema @Nahu

[Nahu]

Problema 166

Sea $P$ un punto en el interior de un ángulo $A\widehat{B}C$. Determinar la recta por $P$ que corta a la semirrecta $AB$ en $M$ y a la semirrecta $BC$ en $N$ y tal que $\frac{1}{PM}+\frac{1}{PN}$ sea máximo.

[¿hola?]

Problema 166

Sea $P$ un punto en el interior de un ángulo $A\widehat{B}C$. Determinar la recta por $P$ que corta a $AB$ en $M$ y a $BC$ en $N$ y tal que $\frac{1}{PM}+\frac{1}{PN}$ sea máximo.

$AB$ y $BC$ son rectas? O son las semirrectas $BA$ y $BC$?

[Nahu]

Ahí lo edite.

[¿hola?]

Solución 166
Se asume $\hat{B}<180$

Spoiler: mostrar

Sean $M\hat{B}P=\alpha>0$, $P\hat{B}N=\beta>0$ y $B\hat{N}P=\gamma>0$, vamos a asumir que el ángulo es convexo, $\alpha+\beta<180$ y luego es fácil ver que $0<\gamma<180-\alpha-\beta$ para que efectivamente la recta $MN$ corte a las semirrectas $BA$ y $BC$.

Aplicando teorema del seno en los triángulos $NBP$ y $MBP$ obtenemos $\frac{\operatorname{sen}(\beta)}{PN}=\frac{\operatorname{sen}(\gamma)}{PB}$ y $\frac{\operatorname{sen}(\alpha)}{PM}=\frac{\operatorname{sen}(180-\alpha-\beta-\gamma)}{PB}$ respectivamente, por lo cual
$$\frac{1}{PM}+\frac{1}{PN}=\frac{\operatorname{sen}(180-\alpha-\beta-\gamma)}{PB\operatorname{sen}(\alpha)}+\frac{\operatorname{sen}(\gamma)}{PB\operatorname{sen}(\beta)}=\frac{\operatorname{sen}(180-\alpha-\beta-\gamma)\operatorname{sen}(\beta)+\operatorname{sen}(\gamma)\operatorname{sen}(\alpha)}{PB\operatorname{sen}(\alpha)\operatorname{sen}(\beta)}$$
Como $\alpha$, $\beta$ y $PB$ son constantes, para maximizar $\frac{1}{PM}+\frac{1}{PN}$, hay que maximizar $\operatorname{sen}(180-\alpha-\beta-\gamma)\operatorname{sen}(\beta)+\operatorname{sen}(\gamma)\operatorname{sen}(\alpha)$, o sea maximizar la función derivable $f$ con dominio $(0;180-\alpha-\beta)$, para lo que buscaremos las raíces de su derivada.

$f(\gamma)=\operatorname{sen}(\alpha+\beta+\gamma)\operatorname{sen}(\beta)+\operatorname{sen}(\gamma)\operatorname{sen}(\alpha)$
$f'(\gamma)=\operatorname{cos}(\alpha+\beta+\gamma)\operatorname{sen}(\beta)+\operatorname{cos}(\gamma)\operatorname{sen}(\alpha)=0\Rightarrow$
$\Rightarrow \operatorname{cos}(\gamma)\operatorname{sen}(\alpha)=\operatorname{sen}(\alpha+\beta)\operatorname{sen}(\gamma)\operatorname{sen}(\beta)-\operatorname{cos}(\alpha+\beta)\operatorname{cos}(\gamma)\operatorname{sen}(\beta)\Rightarrow$
$\Rightarrow \operatorname{tg}(\gamma)=\frac{\operatorname{sen}(\alpha)+\operatorname{cos}(\alpha+\beta)\operatorname{sen}(\beta)}{\operatorname{sen}(\alpha+\beta)\operatorname{sen}(\beta)}=\operatorname{cot}(\beta)$

De lo cual, dado que $0<\gamma<180-\alpha-\beta$ y $0<\beta<180$, la única posible raíz es $90-\beta$, veamos $f''$ para saber que efectivamente es un máximo de $f$.
$$f''(90-\beta)=-\operatorname{sen}(\alpha+\beta+90-\beta)\operatorname{sen}(\beta)-\operatorname{sen}(90-\beta)\operatorname{sen}(\alpha)=-\operatorname{cos}(\alpha)\operatorname{sen}(\beta)-\operatorname{cos}(\beta)\operatorname{sen}(\alpha)=-\operatorname{sen}(\alpha+\beta)<0$$
Entonces, si $\beta<90$ y $\alpha<90$ el máximo se da cuando $\gamma=90-\beta$ que implica que $MN$ es la perpendicular a $BP$ por $P$.
Si $\beta\geq 90$ o $\alpha\geq 90$ la derivada de $f$ no tiene raíces en $(0;180-\alpha-\beta)$ por lo cual no tiene máximo y este se encontraría cuando $f(\gamma)$ tiende al mayor extremo, o sea $\gamma\to 0$ o $\gamma\to 180-\alpha-\beta$.

[Turko Arias]

La gente del Politécnico odia la geometría