Maratón de Problemas de Geometría
Re: Maratón de Problemas de Geometría
Solución 214
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Re: Maratón de Problemas de Geometría
Problema 215
Dado un triángulo $ABC$ encontrar una recta $r$ que pase por $A$ tal que si $E$ es el pie de la perpendicular a $r$ por $B$ y $F$ es el pie de la perpendicular a $r$ por $C$, los triángulos $AEB$ y $AFC$ tienen igual área.
Dado un triángulo $ABC$ encontrar una recta $r$ que pase por $A$ tal que si $E$ es el pie de la perpendicular a $r$ por $B$ y $F$ es el pie de la perpendicular a $r$ por $C$, los triángulos $AEB$ y $AFC$ tienen igual área.
Re: Maratón de Problemas de Geometría
Construcción de la recta:
Justificación:
Problema 216
Sea $\triangle ABC$ un triángulo con $\angle BAC=90^\circ$. Sea $M$ el punto medio de $BC$ y $D$ un punto en $AC$ tal que $AD=AM$. Sea $P$ el otro punto de intersección de los circuncírculos de $\triangle AMC$ y $\triangle BDC$. Demuestre que $CP$ es la bisectriz de $\angle BCA$.
Problema 216
Sea $\triangle ABC$ un triángulo con $\angle BAC=90^\circ$. Sea $M$ el punto medio de $BC$ y $D$ un punto en $AC$ tal que $AD=AM$. Sea $P$ el otro punto de intersección de los circuncírculos de $\triangle AMC$ y $\triangle BDC$. Demuestre que $CP$ es la bisectriz de $\angle BCA$.
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Última edición por Juaco el Dom 26 Dic, 2021 11:11 am, editado 3 veces en total.
$91$ es el menor número primo que puede escribirse como producto de $2$ números primos menores a el $(91 = 13 × 7) $
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Gianni De Rico
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Re: Maratón de Problemas de Geometría
Mensaje número $100$ en la maratón de geo, con mi regalo navideño para la comunidad olímpica:
Solución 216
Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850
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Gianni De Rico
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Re: Maratón de Problemas de Geometría
Problema 217
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sean $D,E,F$ los pies de las alturas desde $A,B,C$, respectivamente. Sean $G,H$ en la recta $EF$, con $G,E,F,H$ en ese orden, tales que $EG=DF$ y $FH=DE$. Sean $P$ el punto de intersección de la mediatriz de $DG$ con la recta $AB$ y $Q$ el punto de intersección de la mediatriz de $DH$ con la recta $CA$.
Demostrar que la recta $PQ$ pasa por el punto medio de $BC$.
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sean $D,E,F$ los pies de las alturas desde $A,B,C$, respectivamente. Sean $G,H$ en la recta $EF$, con $G,E,F,H$ en ese orden, tales que $EG=DF$ y $FH=DE$. Sean $P$ el punto de intersección de la mediatriz de $DG$ con la recta $AB$ y $Q$ el punto de intersección de la mediatriz de $DH$ con la recta $CA$.
Demostrar que la recta $PQ$ pasa por el punto medio de $BC$.
Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850
Re: Maratón de Problemas de Geometría
Solución 217
Problema 218
Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo inscrito en la circunferencia $\Gamma$ de centro $O$. Sea $D$ el pie de altura respecto a $A$. Sean $E$ y $F$ puntos sobre $\Gamma$ tales que $AE=AD=AF$. Sean $P$ y $Q$ los puntos de intersección de la recta $EF$ con $AB$ y $AC$ respectivamente. Sea $X$ el segundo punto de intersección de $\Gamma$ con el circuncírculo de $APQ$.
Probar que las rectas $XD$ y $AO$ se cortan en un punto que está sobre $\Gamma$.
Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo inscrito en la circunferencia $\Gamma$ de centro $O$. Sea $D$ el pie de altura respecto a $A$. Sean $E$ y $F$ puntos sobre $\Gamma$ tales que $AE=AD=AF$. Sean $P$ y $Q$ los puntos de intersección de la recta $EF$ con $AB$ y $AC$ respectivamente. Sea $X$ el segundo punto de intersección de $\Gamma$ con el circuncírculo de $APQ$.
Probar que las rectas $XD$ y $AO$ se cortan en un punto que está sobre $\Gamma$.
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$91$ es el menor número primo que puede escribirse como producto de $2$ números primos menores a el $(91 = 13 × 7) $
Re: Maratón de Problemas de Geometría
No sé si este ya habrá sido propuesto
Problema 219. Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que:
* Existe una circunferencia de centro $O$ que pasa por $A$, $B$, $C$ y $D$.
* Existe una circunferencia de centro $I$ que es tangente a los lados $AB$, $BC$, $CD$, $DA$.
Llamemos $P$ a la intersección de $AC$ y $BD$.
Probar que $O$, $I$, $P$ son colineales.
Problema 219. Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que:
* Existe una circunferencia de centro $O$ que pasa por $A$, $B$, $C$ y $D$.
* Existe una circunferencia de centro $I$ que es tangente a los lados $AB$, $BC$, $CD$, $DA$.
Llamemos $P$ a la intersección de $AC$ y $BD$.
Probar que $O$, $I$, $P$ son colineales.