Maratón de Problemas de Geometría
Re: Maratón de Problemas de Geometría
Problema 115:
Sea $ABC$ un triángulo, $O$ su circuncentro y $H$ su ortocentro. Sean $A_1$, $B_1$, $C_1$ las reflexiones de $A$, $B$ y $C$ por las mediatrices de sus respectivos lados opuestos. El incentro del triángulo $A_1B_1C_1$ es $L$. Probar que $O$, $H$ y $L$ están alineados.
Sea $ABC$ un triángulo, $O$ su circuncentro y $H$ su ortocentro. Sean $A_1$, $B_1$, $C_1$ las reflexiones de $A$, $B$ y $C$ por las mediatrices de sus respectivos lados opuestos. El incentro del triángulo $A_1B_1C_1$ es $L$. Probar que $O$, $H$ y $L$ están alineados.
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Gianni De Rico
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Re: Maratón de Problemas de Geometría
Solución 115
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Gianni De Rico
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Re: Maratón de Problemas de Geometría
Problema 116
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo de circuncentro $O$, y sean $P$ y $Q$ puntos sobre $AB$ y $AC$ tales que $\frac{PB}{PQ}=\frac{AC}{BC}$ y $\frac{QC}{PQ}=\frac{AB}{BC}$.
Demostrar que $A,P,O,Q$ son concíclicos.
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo de circuncentro $O$, y sean $P$ y $Q$ puntos sobre $AB$ y $AC$ tales que $\frac{PB}{PQ}=\frac{AC}{BC}$ y $\frac{QC}{PQ}=\frac{AB}{BC}$.
Demostrar que $A,P,O,Q$ son concíclicos.
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Joacoini
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Re: Maratón de Problemas de Geometría
Este lo cree al leer mal un problema. Me uní a la distancia.
Problema 117
Sea $\Gamma$ el incírculo de un triángulo escaleno $ABC$, que es tangente a los lados $BC$, $CA$, $AB$ en los puntos $D$, $E$, $F$ respectivamente. Las rectas $EF$ y $BC$ se cortan en $G$. La circunferencia de centro $G$ y radio $GD$ corta a $\Gamma$ por segunda vez en $R$. Sean $P$ y $Q$ los puntos de intersección (distintos de $R$) de $\Gamma$ con $BR$ y $CR$, respectivamente.
Demostrar que las rectas $RD$, $BQ$ y $CP$ concurren.
Problema 117
Sea $\Gamma$ el incírculo de un triángulo escaleno $ABC$, que es tangente a los lados $BC$, $CA$, $AB$ en los puntos $D$, $E$, $F$ respectivamente. Las rectas $EF$ y $BC$ se cortan en $G$. La circunferencia de centro $G$ y radio $GD$ corta a $\Gamma$ por segunda vez en $R$. Sean $P$ y $Q$ los puntos de intersección (distintos de $R$) de $\Gamma$ con $BR$ y $CR$, respectivamente.
Demostrar que las rectas $RD$, $BQ$ y $CP$ concurren.
NO HAY ANÁLISIS.
Re: Maratón de Problemas de Geometría
Solucion 117 que no fue
Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.
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Gianni De Rico
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Re: Maratón de Problemas de Geometría
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Gianni De Rico
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Re: Maratón de Problemas de Geometría
Problema 118
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, y sean $A',B',C'$ las reflexiones de $A,B,C$ por $BC,CA,AB$, respectivamente. Los circuncírculos de $ABB'$ y $ACC'$ se cortan nuevamente en $A_1$, los puntos $B_1$ y $C_1$ se definen de la misma manera.
Demostrar que las rectas $AA_1$, $BB_1$ y $CC_1$ son concurrentes.
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, y sean $A',B',C'$ las reflexiones de $A,B,C$ por $BC,CA,AB$, respectivamente. Los circuncírculos de $ABB'$ y $ACC'$ se cortan nuevamente en $A_1$, los puntos $B_1$ y $C_1$ se definen de la misma manera.
Demostrar que las rectas $AA_1$, $BB_1$ y $CC_1$ son concurrentes.
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Joacoini
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Re: Maratón de Problemas de Geometría
Dejo mi solución del 117 que usa teoremas copados, y por si se lo preguntaban es el 3 de la ibero del 2010.
NO HAY ANÁLISIS.