Maratón de Problemas de Geometría
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Turko Arias
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Re: Maratón de Problemas de Geometría
Hermoso problema
Solución al Problema 118:
Solución al Problema 118:
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Re: Maratón de Problemas de Geometría
Problema 119
Sea $ABC$ un triángulo y $P$ un punto en su interior. Considere la circunferencia $\Gamma_a$ que pasa por $P, B, C$ y sea $A'$ la segunda intersección de la recta $AP$ con $\Gamma_a$. De manera análoga se contruyen $B'$ y $C'$. Determinar los posibles valores de $\frac{A'B}{A'C}\cdot \frac{B'C}{B'A}\cdot \frac{C'A}{C'B}$.
Sea $ABC$ un triángulo y $P$ un punto en su interior. Considere la circunferencia $\Gamma_a$ que pasa por $P, B, C$ y sea $A'$ la segunda intersección de la recta $AP$ con $\Gamma_a$. De manera análoga se contruyen $B'$ y $C'$. Determinar los posibles valores de $\frac{A'B}{A'C}\cdot \frac{B'C}{B'A}\cdot \frac{C'A}{C'B}$.
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Gianni De Rico
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Re: Maratón de Problemas de Geometría
Problema 120
El incírculo del triángulo $ABC$ es tangente a los lados $BC$, $CA$ y $AB$ en los puntos $D$, $E$ y $F$, respectivamente. Sea $G$ un punto sobre $EF$ tal que $\frac{GB}{GC}=\frac{GF}{GE}$.
Demostrar que $DG$ es perpendicular a $EF$.
El incírculo del triángulo $ABC$ es tangente a los lados $BC$, $CA$ y $AB$ en los puntos $D$, $E$ y $F$, respectivamente. Sea $G$ un punto sobre $EF$ tal que $\frac{GB}{GC}=\frac{GF}{GE}$.
Demostrar que $DG$ es perpendicular a $EF$.
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Re: Maratón de Problemas de Geometría
Solución 120:
EDIT: Se me ocurrió algo (no sé si más elegante):
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Última edición por BrunZo el Vie 27 Dic, 2019 10:31 pm, editado 1 vez en total.
Re: Maratón de Problemas de Geometría
EDIT: ¿Qué pasó acá? Parece que el enunciado del 121 decidió auto-eliminarse (o bien eliminé el enunciado sin querer). Lo vuelvo a escribir (con posibles diferencias con respecto al original)
Problema 121:
Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico y $P$ la intersección de sus diagonales. La perpendicular a $AB$ por $B$ y a $CD$ por $C$ se cortan en $X$, y la perpendicular a $AB$ por $A$ y a $CD$ por $D$ se cortan en $Y$. Probar que $P$, $X$ e $Y$ son colineales.
Y esto es lo que se mandó reemplazando al enunciado del problema:
Mandó una solución al 121 que me pareció muy simpática (y es muy larga...)
Problema 121:
Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico y $P$ la intersección de sus diagonales. La perpendicular a $AB$ por $B$ y a $CD$ por $C$ se cortan en $X$, y la perpendicular a $AB$ por $A$ y a $CD$ por $D$ se cortan en $Y$. Probar que $P$, $X$ e $Y$ son colineales.
Y esto es lo que se mandó reemplazando al enunciado del problema:
Mandó una solución al 121 que me pareció muy simpática (y es muy larga...)
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Última edición por BrunZo el Jue 02 Ene, 2020 11:51 pm, editado 3 veces en total.
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Re: Maratón de Problemas de Geometría
Solución 121
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Re: Maratón de Problemas de Geometría
Problema 122
Las circunferencias $\Gamma$ y $\Omega$ se cortan en los puntos $A$ y $B$. Sea $P$ un punto sobre $\Gamma$, la tangente a $\Gamma$ por $P$ corta a $\Omega$ en los puntos $C$ y $D$, con $D$ entre $P$ y $C$, de forma que el cuadrilátero $ABCD$ es convexo. Las rectas $CA$ y $CB$ cortan nuevamente a $\Gamma$ en $E$ y $F$, respectivamente. Las rectas $DA$ y $DB$ cortan nuevamente a $\Gamma$ en $S$ y $T$, respectivamente.
Si los puntos $P,~E,~S,~F,~B,~T,~A$ están sobre $\Gamma$ en ese orden, demostrar que las rectas $PC$, $ET$ y $SF$ son paralelas.
Las circunferencias $\Gamma$ y $\Omega$ se cortan en los puntos $A$ y $B$. Sea $P$ un punto sobre $\Gamma$, la tangente a $\Gamma$ por $P$ corta a $\Omega$ en los puntos $C$ y $D$, con $D$ entre $P$ y $C$, de forma que el cuadrilátero $ABCD$ es convexo. Las rectas $CA$ y $CB$ cortan nuevamente a $\Gamma$ en $E$ y $F$, respectivamente. Las rectas $DA$ y $DB$ cortan nuevamente a $\Gamma$ en $S$ y $T$, respectivamente.
Si los puntos $P,~E,~S,~F,~B,~T,~A$ están sobre $\Gamma$ en ese orden, demostrar que las rectas $PC$, $ET$ y $SF$ son paralelas.
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