Trisección de un segmento

[Juaco]

Sea $\Gamma$ una semicircunferencia de diámetro $AB$ y centro $O$, sea $C\in \Gamma /AC=BC$. Sea $D$ un punto en la semirrecta $OC/AC=OD$
$E=\Gamma \cap AD$
$F$ es la proyección de $E$ sobre $AB$

Probar que $BF=2AF$

[BrunZo]

Parecido a:
Sea $\Gamma$ una circunferencia de diámetro $AB$ y sean $A'$ y $B'$ en el segmento $AB$ tales que $AA'=BB'<AB/2$. La perpendicular a $AB$ por $A'$ corta a la circunferencia de diámetro $AB'$ y a $\Gamma$ en $P$ y $Q$, respectivamente. La bisectriz de $A\hat{P}Q$ corta al circuncírculo de $AA'Q$ en $R$. Demostrar que $AA'QR$ es un rectángulo.

[ricarlos]

Parecido a:
Sea $\Gamma$ una circunferencia de diámetro $AB$ y sean $A'$ y $B'$ en el segmento $AB$ tales que $AA'=BB'<AB/2$. La perpendicular a $AB$ por $A'$ corta a la circunferencia de diámetro $AB'$ y a $\Gamma$ en $P$ y $Q$, respectivamente. La bisectriz de $A\hat{P}Q$ corta al circuncírculo de $AA'Q$ en $R$. Demostrar que $AA'QR$ es un rectángulo.

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Sabemos que en el triangulo rectángulo AQB es $A'Q^2=AA'\cdot A'B$, en el triangulo rectángulo $APB'$ es $AP^2=AA'\cdot AB'$ pero como $AB'=A'B$ entonces $A'Q=AP$. Trazamos por $A$ una perpendicular a $AB$ y sobre ella ubicamos el punto $R'$ tal que $AR'=A'Q$, formamos así el rectángulo $AA'QR'$. Su circuncírculo es el mismo que nos da el problema (el $AA'Q$) tenemos que ver entonces si $R'P$ es la bisectriz de $A\hat{P}Q$. Vemos que $APR'$ es isósceles con ángulos $APR'=AR'P=\alpha$ entonces $\angle PR'Q=90^\circ -\alpha$ y al ser $PR'Q$ un triangulo rectángulo tenemos $\angle R'PQ=\alpha$ entonces $R'=R$.

[ricarlos]

Sea $\Gamma$ una semicircunferencia de diámetro $AB$ y centro $O$, sea $C\in \Gamma /AC=BC$. Sea $D$ un punto en la semirrecta $OC/AC=OD$
$E=\Gamma \cap AD$
$F$ es la proyección de $E$ sobre $AB$

Probar que $BF=2AF$

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Si $AO=r$ entonces $AC=OD=\sqrt{2}r$. Con Pitágoras en $ADO$ tenemos que $DA=\sqrt{3}r$, tambien $DC=r(\sqrt{2}-1)$ Con estos datos y haciendo potencia de $D$ respecto de $\Gamma$ obtenemos $DE=\frac{r}{\sqrt{3}}$. Si hacemos la razón $\frac{DE}{DA}$ nos da $\frac{1}{3}$ es decir que $\frac{FO}{AO}=\frac{1}{3}$, entonces $BF=2AF$.