Circunferencias y concurrencias

[Juaco]

Sea $ABC $ un triángulo con incírculo $\Gamma_1$ y circuncírculo $\Gamma_2$.
Sea $D $ un punto en $\Gamma_2$, se traza una tangente por $D $ a $\Gamma_1$ que corta a $\Gamma_2$ en el punto $E $.
Las otras tangentes a $\Gamma_1$ por $D $ y $E $ se cortan en $F $.

Probar que $F \in \Gamma_2$

[Gianni De Rico]

Esto es un bazookazo, pero bueno

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Sean $A_1,B_1,\ldots ,F_1$ los puntos de tangencia de $\Gamma _1$ con el lado opuesto al vértice correspondiente (por ejemplo, $A_1$ es el punto de tangencia con $BC$), y sea $I$ el incentro de $ABC$. Invirtiendo entonces por $\Gamma _1$ tenemos que $A'$ es el punto medio de $B_1C_1$ y lo mismo con los otros. Como $A,B,C,D,E\in \Gamma _2$, entonces $A',B',C',D',E'$ son concíclicos y están en $\omega$, la circunferencia de los 9 puntos de $A_1B_1C_1$ (ya que esta es la circunscrita de $A'B'C'$), de este modo, tenemos que probar que $F'\in \omega$, es decir, que los triángulos $A_1B_1C_1$ y $D_1E_1F_1$ comparten la misma circunferencia de los 9 puntos. Pero esto es justamente lo que nos dice este problema (notar que ambos son acutángulos).