Tangencias y colinealidad

El Apache yasabes

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Tangencias y colinealidad

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Sean $P $ y $Q $ dos puntos exteriores a la circunferencia $\Gamma $ y se trazan las tangentes $PA, PB, QC, QD $, y los puntos $R = AD \cap BC $ y $S = AC \cap BD $.

Probar que los puntos $P, R, Q, S$ son colineales.
$91$ es el menor número primo que puede escribirse como producto de $2$ números primos menores a el $(91 = 13 × 7) $

El Apache yasabes

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Re: Tangencias y colinealidad

Mensaje sin leer por El Apache yasabes »

Un dato que podría agregarse, o quizá hasta sirva de ayuda, es que estos 4 puntos no sólo son colineales, sino que también forman una cuaterna armónica
$91$ es el menor número primo que puede escribirse como producto de $2$ números primos menores a el $(91 = 13 × 7) $

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Gianni De Rico

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Re: Tangencias y colinealidad

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

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La colinealidad es Pascal en $AACBBD$ y $ACCBDD$. Que forman una cuaterna armónica sale definiendo $E$ como el segundo punto de intersección de $AQ$ con $\Gamma$ y proyectando por $A$.

¿Podés compartir la solución que usa la cuaterna armónica para probar que son colineales?
Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850

El Apache yasabes

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Re: Tangencias y colinealidad

Mensaje sin leer por El Apache yasabes »

Gianni De Rico escribió:
Dom 02 May, 2021 10:09 am
¿Podés compartir la solución que usa la cuaterna armónica para probar que son colineales?[/spoiler]
Lo que yo hice fue primero poner los siguientes puntos:
$X,Y = QR \cap \Gamma $, $Z = QR \cap AB $
$P_b $ la intersección de la tangente por $B $ y la recta $QR $ y defino $P_a $ de la misma forma.

$\{B, A; X, Y\} = \{P_b, Z; X, Y\} = -1$
$\{A, B; X, Y\} = \{P_a, Z; X, Y\} = -1$
$P_a = P_b = P \Rightarrow P, Q, R$ colineales.

Para el punto $S $ podes hacer lo mismo o si queres verlo por cuaterna ahí va:
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tomando los puntos $S_a$ y $S_b$, llegas a que $S_a = S_b = S $ y usando el mismo punto $E $ que mencionaste anteriormente llegas a $\{P, Q; S, R\} = -1$ y ahí esta la cosa porque los puntos $P, Q, R, S $ forman un cuadrilátero armónico pero hay tres que son colineales en realidad quedaría un triángulo (que es sin puntos dobles por ser Todos los puntos distintos) entonces no existe circunferencia que pase por los cuatro puntos, por lo que $S $ tiene que estar en la misma recta porque ahi la circunferencia si existe (degenerada y se convierte en una recta). Esto fue, si $S $ pertenece a la misma recta todo bien, pero sino, llegas a un absurdo por lo que $S $ esta también en la recta.
$91$ es el menor número primo que puede escribirse como producto de $2$ números primos menores a el $(91 = 13 × 7) $

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