Regional 2021 - N1 P3

[Gianni De Rico]

En el rectángulo $ABCD$, sean $P$ en el lado $AB$ y $Q$ en el lado $AD$ tales que $PC$ es la bisectriz de $B\hat PQ$ y $QC$ es la bisectriz de $D\hat QP$. Calcular la medida del ángulo $P\hat CQ$.

[Turko Arias]

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Llamemos $\alpha = \angle BPC = CPQ$, teniendo en cuenta que $\angle BPC + \angle CPQ + \angle QPA = 180$ nos queda que $\angle QPA = 180-2 \alpha$. En el triángulo rectángulo $APQ$ tenemos que $\angle APQ + \angle AQP + \angle PAQ = 180$ por lo que $\angle AQP= 2 \alpha -90$.
Tenemos entonces que $\angle AQP + \angle PQD =180$, por lo que $\angle PQD=270-2 \alpha$, pero como $CQ$ es bisectriz de este ángulo, nos queda que $\angle PQC = \angle CQD= 135-\alpha$.
Ahora, viendo el triángulo $CPQ$ tenemos que $\angle QPC + \angle PCQ = 135- \alpha + \alpha = 135$, por lo que $\angle PCQ = 180-135=45$ $\blacksquare$

[Gianni De Rico]

Zonal 2015 N1 P3

[Gianni De Rico]

Dato excéntrico (?) que me hizo notar @Fedex

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El rectángulo $ABCD$ es un cuadrado.
Por definición tenemos que $PC$ y $QC$ son bisectrices exteriores de los ángulos $\widehat P$ y $\widehat Q$ en $APQ$, así que $C$ es el excentro correspondiente al punto $A$ en $APQ$, lo que nos dice que $AC$ es bisectriz de $\widehat A$, y por lo tanto que $ABCD$ es un cuadrado.
Esto además implica que $P\widehat CQ=90^\circ -\dfrac{P\widehat AQ}{2}=45^\circ$, y por lo tanto nos da otra forma de resolver el problema.

[Santiago Pizarro]

∠AQP=2α−90.

hmn como llegas a la afirmacion de la tercera linea, me perdi ahi

[Santiago Pizarro]

[PAQ = 180$ por lo que $\angle AQP= 2 \alpha -90$.
hmn como llegas a la afirmacion de la tercera linea, me perdi ahi