Iberoamericana 2021 - Problema 2

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Avatar de Usuario
Matías V5

Colaborador-Varias OFO - Jurado-OFO 2015 OFO - Jurado-OFO 2016 FOFO 6 años - Jurado-FOFO 6 años OFO - Jurado-OFO 2017
OFO - Jurado-OFO 2018 OFO - Jurado-OFO 2020 OFO - Jurado-OFO 2021
Mensajes: 1114
Registrado: Dom 17 Oct, 2010 4:44 pm
Medallas: 8
Nivel: Exolímpico

Iberoamericana 2021 - Problema 2

Mensaje sin leer por Matías V5 »

Considere un triángulo acutángulo $ABC$, con $AC > AB$, y sea $\Gamma$ su circuncírculo. Sean $E$ y $F$ los puntos medios de los lados $AC$ y $AB$, respectivamente. El circuncírculo del triángulo $CEF$ y $\Gamma$ se cortan en $X$ y $C$, con $X \neq C$. La recta $BX$ y la tangente a $\Gamma$ por $A$ se cortan en $Y$. Sea $P$ el punto en el segmento $AB$ tal que $YP=YA$, con $P \neq A$, y sea $Q$ el punto donde se cortan $AB$ y la paralela a $BC$ que pasa por $Y$. Demuestre que $F$ es el punto medio de $PQ$.
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore!

Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=KzTR72_srTU
Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial-FOFO 7 años OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO 9 años - Jurado-FOFO 9 años COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo OFO - Jurado-OFO 2020
FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber COFFEE - Jurado-COFFEE Iván Sadofschi FOFO 10 años - Jurado-FOFO 10 años
OFO - Jurado-OFO 2021 FOFO 11 años - Jurado-FOFO 11 años OFO - Jurado-OFO 2022 FOFO Pascua 2022 - Jurado-FOFO Pascua 2022 FOFO 12 años - Jurado-FOFO 12 años
OFO - Jurado-OFO 2023 FOFO 13 años - Jurado-FOFO 13 años OFO - Jurado-OFO 2024
Mensajes: 2212
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 18
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Re: Iberoamericana 2021 - Problema 2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Spoiler: mostrar
Ibero 2021 P2.png
Sean $D=XF\cap CA$ y $G$ el segundo punto de intersección de $YF$ con el circuncírculo de $AXY$.
Notemos que $\angle EFD=\angle ECX=\angle ACX=\angle ABX=\angle ABY$, la primera porque $CEFX$ es cíclico y la tercera porque $AXBC$ es cíclico. Tenemos también que $\angle DEF=\angle ACB=\angle YAB$, la primera porque $EF\parallel CB$ al ser base media y la segunda porque $YA$ es tangente a $\Gamma$. Entonces $DEF\simeq YAB$, con lo que $\angle XDE=\angle FDE=\angle BYA=\angle XYA$, así que $XYAD$ es cíclico.
Ahora, $\angle AXY=\angle ACB$ al ser $AXBC$ cíclico, pero $\angle APY=\angle YAP=\angle YAB=\angle ACB$ por ser $YP=YA$ y por ser $YA$ tangente a $\Gamma$, entonces $XYAP$ es cíclico. Además, $\angle ADY=\angle AXY=\angle ACB$, con lo que $DY\parallel BC\parallel YQ$.
De todo esto tenemos que $XYADGP$ es cíclico y que $D,Q,Y$ son colineales.

Tenemos también que\begin{align*}\angle DQA & =\angle CBA \\
& =180^\circ -\angle ACB-\angle BAC \\
& =180^\circ -\angle YAB-\angle BAD \\
& =180^\circ -\angle YAD \\
& =\angle DGY \\
& =\angle DGF
\end{align*}con lo que $DQFG$ es cíclico.

Como $DYXG$ y $DQFG$ son cíclicos, entonces $G$ es el punto de Miquel de $XYQF$, con lo que $XFGB$ es cíclico. Entonces por Potencia de un Punto tenemos que $YX\cdot YB=YF\cdot YG=YQ\cdot YD$, con lo que $BXQD$ es cíclico, y nuevamente por Potencia de un Punto resulta$$FP\cdot FA=FX\cdot FD=FQ\cdot FB$$de donde $FP=FQ$ ya que $FA=FB$ al ser $F$ el punto medio de $AB$.
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
1  
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
Responder