ONEM 2021 - Nacional - Nivel 2 - P2

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Nando

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Mensaje sin leer por Nando »

Sea $ABC$ un triángulo, la bisectriz del ángulo $\angle CAB$ interseca a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en $D$. La recta paralela a $AC$ que pasa por $D$ interseca al lado $AB$ en $L$ y al lado $BC$ en $K$. Sea $M$ el punto medio de $AC$. Si $MK=ML$, demuestre que $BL=KD$.

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DiegoLedesma
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Re: ONEM 2021 - Nacional - Nivel 2 - P2

Mensaje sin leer por DiegoLedesma »

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Sea $\hat{CAD}=\alpha$. Por ser $AD$ bisectriz de $\hat{CAB}$, $\hat{CAD}=\hat{BAD}=\alpha$.
Por ser $\hat{CAD}=\hat{BAD}$ ángulos inscritos, se tiene que $CD=BD$. Luego $\hat{BCD}=\alpha$.
$AC $\parallel$ DL$ $\Rightarrow$ $\hat{CAB}=\hat{DLB}=2\alpha$ (por ser correspondientes), $\hat{ALD}=180º-2\alpha$ (por ser adyacente) y $\hat{ADL}=\alpha$ (por suma de ángulos interiores de $\overset{\bigtriangleup}{ADL}$)$=\hat{ABE}$ (inscriptos con mismo lado opuesto)
Sea $E$ el punto de intersección entre la recta $DL$ y la circunferencia, aquí se tiene que $\overset{\bigtriangleup}{BLE}$ es isósceles ($BL=EL$), pues $\hat{BED}=\hat{ABE}=\alpha$. Luego $BE=BD$ $\Rightarrow$ $\hat{BDE}=\alpha$, y como en todo triángulo cada ángulo exterior es congruente a la suma de los ángulos interiores no adyacentes a él, en $\overset{\bigtriangleup}{KBL}$ se tiene que $\hat{BKL}=\hat{BLK}=2\alpha$, por lo que $BK=BL$, y por transitividad: $BL=KD$ (Q.E.D.)
Por ser $\overset{\bigtriangleup}{LBK}$ $\sim$ $\overset{\bigtriangleup}{ABC}$ triángulos isósceles, $\overset{\bigtriangleup}{KCM}$ $=$ $\overset{\bigtriangleup}{LAM}$, con lo que -efectivamente- $MK=ML$.

GQSAMAEL
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Re: ONEM 2021 - Nacional - Nivel 2 - P2

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DiegoLedesma escribió:
Dom 21 Nov, 2021 10:19 pm
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Sea $E$ el punto de intersección entre la recta $DL$ y la circunferencia, aquí se tiene que $\overset{\bigtriangleup}{BLE}$ es isósceles ($BL=EL$), pues $\hat{BED}=\hat{ABE}=\alpha$. Luego $BE=BD$ $\Rightarrow$ $\hat{BDE}=\alpha$
Creo que no está claro como se llega a que $BE=BD$ y me parece que hasta ese momento no se puede deducir eso.

El Apache yasabes

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Re: ONEM 2021 - Nacional - Nivel 2 - P2

Mensaje sin leer por El Apache yasabes »

GQSAMAEL escribió:
Mié 24 Nov, 2021 7:06 pm
Creo que no está claro como se llega a que $BE=BD$ y me parece que hasta ese momento no se puede deducir eso.
ONEM nacional 2021 N2 P2.jpg
Esa parte se puede explicar de la siguiente manera:

Como $KL \parallel AC$, $ML=MK$ y $M$ es punto medio, creo que eso ya explicaría que el triángulo $ABC$ tiene que ser isósceles por un tema de simetría

Después como $A\hat{C}E = A\hat{D}E = \alpha$ y $A\hat{C}B = C\hat{A}B = 2\alpha$ se deduce que $B\hat{C}E = \alpha$ y por lo tanto $BE = BD$ ya que los arcos son iguales


Lo que también creo que habría que explicar es por qué el final sería un $\text{sí y solo sí}$, porque en realidad lo que pedía el problema es probar que $BL=KD$ A partir del dato de que $ML=MK$
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$91$ es el menor número primo que puede escribirse como producto de $2$ números primos menores a el $(91 = 13 × 7) $

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