ONEM 2021 - Nacional - Nivel 3 - P3

Avatar de Usuario
Nando

OFO - Mención-OFO 2019
Mensajes: 183
Registrado: Mar 31 Jul, 2018 7:39 pm
Medallas: 1

ONEM 2021 - Nacional - Nivel 3 - P3

Mensaje sin leer por Nando »

Sean $M,N$ y $P$ puntos en los lados $BC, CA$ y $AB$ de un triángulo $ABC$, respectivamente, tales que el cuadrilátero $MCNP$ tiene una circunferencia de radio $r$. Si las circunferencias inscritas de los triángulos $BPM$ y $ANP$ también tienen radio $r$, pruebe que:$$AP\cdot MP=BP\cdot NP.$$

GQSAMAEL
Mensajes: 22
Registrado: Sab 13 Jun, 2015 11:01 pm

Re: ONEM 2021 - Nacional - Nivel 3 - P3

Mensaje sin leer por GQSAMAEL »

No me queda claro, ¿la circunferencia de $MCNP$ está inscrita o circunscrita?

Avatar de Usuario
Nando

OFO - Mención-OFO 2019
Mensajes: 183
Registrado: Mar 31 Jul, 2018 7:39 pm
Medallas: 1

Re: ONEM 2021 - Nacional - Nivel 3 - P3

Mensaje sin leer por Nando »

Lo copie tal cual lo vi, tal vez haya una errata. Si alguien lo confirma sería buenísimo.

Avatar de Usuario
jorge.tipe
Mensajes: 9
Registrado: Dom 29 Abr, 2012 11:57 pm

Re: ONEM 2021 - Nacional - Nivel 3 - P3

Mensaje sin leer por jorge.tipe »

Debe decir: tales que el cuadrilátero MCNP tiene una circunferencia inscrita de radio r.

Avatar de Usuario
jorge.tipe
Mensajes: 9
Registrado: Dom 29 Abr, 2012 11:57 pm

Re: ONEM 2021 - Nacional - Nivel 3 - P3

Mensaje sin leer por jorge.tipe »

Debe decir: tales que el cuadrilátero MCNP tiene una circunferencia inscrita de radio r.

El Apache yasabes

OFO - Medalla de Bronce-OFO 2020 OFO - Mención-OFO 2021
Mensajes: 126
Registrado: Jue 10 Oct, 2019 8:24 pm
Medallas: 2
Ubicación: Uruguay

Re: ONEM 2021 - Nacional - Nivel 3 - P3

Mensaje sin leer por El Apache yasabes »

Seguro hay una solución más linda con construcciones mucho mejor que mis ideas llenas de circunferencias que solo entreveran más el dibujo... si me sale la posteo también
Spoiler: mostrar
Sean $I_1, I_2, I_3$ los incentros de $MCNP, BMP, APN$ respectivamente, entonces los triángulos $I_1I_2I_3$ y $ABC$ son homotéticos (centro de homotecia $I$, incentro de $ABC$).

ONEM 2021 Nacional P3.jpg
si $A\hat{N}P = 2\phi$ entonces $P\hat{N}I_3 = I_3\hat{N}A = N\hat{I_3}I_1 = \phi$
$P\hat{N}I_1 = \frac{180 - 2\phi}{2} \Rightarrow I_3\hat{N}I_1 = 90$

Sea $T$ el punto de tangencia de la circunferencia inscrita a $MCNP$ con el lado $CN$, tenemos entonces $N\hat{I_1}T = \phi$, $IT = r$, entonces $I_1N = \frac{r}{\text{cos}(\phi)}$
se sigue que $I_1I_3 = \frac{\left( \frac{r}{\text{cos}(\phi)}\right)}{\text{sen}(\phi)} = \frac{r}{\text{sen}(\phi) \cdot \text{cos}(\phi)} = \frac{r}{\left( \frac{\text{sen}(2\phi)}{2}\right)} = \frac{2r}{\text{sen}(2\phi)}$

análogamente (si $B\hat{M}P = 2\theta$), $I_2I_1 = \frac{2r}{\text{sen}(2\theta)}$


por la homotecia se tiene que $I_1\hat{I_3}I_2 = C\hat{A}B = \alpha$ y $I_3\hat{I_2}I_1 = A\hat{B}C = \beta$

$\frac{\text{sen}(\alpha)}{\text{sen}(\beta)} = \frac{I_2I_1}{I_1I_3} = \frac{\left( \frac{2r}{\text{sen}(2\theta)}\right)}{\left( \frac{2r}{\text{sen}(2\phi)}\right)} = \frac{\text{sen}(2\phi)}{\text{sen}(2\theta)}$


$\Rightarrow \frac{\text{sen}(2\phi)}{\text{sen}(\alpha)} = \frac{\text{sen}(2\theta)}{\text{sen}(\beta)}$

y $\frac{AP}{PN} = \frac{\text{sen}(2\phi)}{\text{sen}(\alpha)} = \frac{\text{sen}(2\theta)}{\text{sen}(\beta)} = \frac{PB}{PM}$

por lo que queda terminado, de ahí sale $AP \cdot PM = PB \cdot NP$
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
$91$ es el menor número primo que puede escribirse como producto de $2$ números primos menores a el $(91 = 13 × 7) $

Responder