ONEM 2021 - Nacional - Nivel 3 - P3

[Nando]

Sean $M,N$ y $P$ puntos en los lados $BC, CA$ y $AB$ de un triángulo $ABC$, respectivamente, tales que el cuadrilátero $MCNP$ tiene una circunferencia de radio $r$. Si las circunferencias inscritas de los triángulos $BPM$ y $ANP$ también tienen radio $r$, pruebe que:$$AP\cdot MP=BP\cdot NP.$$

[GQSAMAEL]

No me queda claro, ¿la circunferencia de $MCNP$ está inscrita o circunscrita?

[Nando]

Lo copie tal cual lo vi, tal vez haya una errata. Si alguien lo confirma sería buenísimo.

[jorge.tipe]

Debe decir: tales que el cuadrilátero MCNP tiene una circunferencia inscrita de radio r.

[jorge.tipe]

Debe decir: tales que el cuadrilátero MCNP tiene una circunferencia inscrita de radio r.

[Juaco]

No soy el mayor fanático de estas soluciones pero lo que me resulta más natural es entrarle por ese lado y no fui capaz de encontrar otra, aunque el resultado promete tener una solución mucho más interesante

Spoiler: mostrar

sean $A\hat{N}P = \theta$ y $B\hat{M}P = \omega$

$\frac{\text{sen}(\beta)}{\text{sen}(\alpha)}=\frac{DF}{DE}=\frac{\frac{2r}{\text{sen}(\theta)}}{\frac{2r}{\text{sen}(\omega)}}=\frac{\text{sen}(\omega)}{\text{sen}(\theta)}$

$\frac{PM}{PB} = \frac{\text{sen}(\beta)}{\text{sen}(\omega)} = \frac{\text{sen}(\alpha)}{\text{sen}(\theta)} = \frac{PN}{PA}$

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