Circunferencias tangentes interiores

Juaco

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Circunferencias tangentes interiores

Mensaje sin leer por Juaco »

Dada una circunferencia $\Gamma$ sean $\omega_1$ y $\omega_2$ $2$ circunferencias tangentes interiores a $\Gamma$. Una de las rectas tangentes exteriores comunes a $\omega_1,\omega_2$ corta a $\Gamma$ en $2$ puntos $C$ y $D$ y las tangentes interiores comunes cortan a $\Gamma$ en $2$ puntos $A$ y $B$ de tal forma que éstos estén los 2 del mismo lado de $CD$ como en la imagen.
Probar que $CD$ es paralela a $AB$
Cfas. Tangentes Interiores.jpg
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$91$ es el menor número primo que puede escribirse como producto de $2$ números primos menores a el $(91 = 13 × 7) $

ricarlos
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Re: Circunferencias tangentes interiores

Mensaje sin leer por ricarlos »

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Sean $E$ y $F$ las segundas intersecciones de las tangentes interiores con $\Gamma$. Sean $G=AF\cap EB$ y $H$, $J$ los centros de $\omega_{1}$ y $\omega_{2}$. Es facil ver que $H, G, J$ son colineales. Sea $M$ el punto medio del arco $CD$ que no contiene a $E$. Una circunferencia de radio $MD$ debe contener a los incentros $I$ y $K$ de los triangulos $ECD$ y $FCD$, respectivamente (problema 154 de Gogeometry). Dichos puntos estan en la interseccion de la circunferencia $(M)$ y las respectivas bisectrices de los angulos $CED$ y $CFD$. Ademas con el teorema de Thébault (aqui aplicado a los 2 triangulos) concluimos que $H,I,G,K,J$ son colineales.
Dado que $MIK$ es isosceles ya que $MI=MK$ son radios de $(M)$ tenemos que $\angle EIK = \angle FKI$ y ya que $HJ$ es bisectriz de $\angle FGB$ (y <EGA) tenemos que los triangulos $GFK$ y $GEI$ son semejantes, luego $\angle MFA = \angle MEB$ y recordando que $M$ es punto medio del arco $CD$ tenemos $AB\parallel CD$.
dibu.png
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Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.

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