Olimpíada geometrense 2009 P1

Juaco

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Olimpíada geometrense 2009 P1

Mensaje sin leer por Juaco »

Se tienen $6$ puntos en una circunferencia. Se eligen $3$ de ellos y se traza la línea entre su baricentro y el ortocentro de los otros $3$. Demuestra que las $20$ líneas que se pueden construir de esta manera concurren.
$91$ es el menor número primo que puede escribirse como producto de $2$ números primos menores a el $(91 = 13 × 7) $

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Gianni De Rico

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Re: Olimpíada geometrense 2009 P1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

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Digamos que la circunferencia es la circunferencia unitaria, sean $A,B,C,D,E,F$ los puntos. Entonces todas las rectas pasan por el punto$$G=\frac{A+B+C+D+E+F}{4}$$y listo.
Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850

Juaco

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Re: Olimpíada geometrense 2009 P1

Mensaje sin leer por Juaco »

Yo había pensado algo parecido, en realidad lo primero que se me ocurrió fue el centro de masas pero no me convencía, no sabia como verlo por el tema de los ortocentros
$91$ es el menor número primo que puede escribirse como producto de $2$ números primos menores a el $(91 = 13 × 7) $

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