La Geometrense: olimpíada mexicana de geometría 2021 P2

Juaco

OFO - Medalla de Bronce-OFO 2020 OFO - Mención-OFO 2021
Mensajes: 193
Registrado: Jue 10 Oct, 2019 8:24 pm
Medallas: 2
Ubicación: Uruguay

La Geometrense: olimpíada mexicana de geometría 2021 P2

Mensaje sin leer por Juaco »

Sean $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ circunferencias tangentes en $A$ tales que $\Gamma_2$ está en el interior de $\Gamma_1$. Sea $B$ un punto en $\Gamma_2$, y sea $C$ la segunda intersección de $\Gamma_1$ con $AB$. Sea $D$ un punto en $\Gamma_1$ y $P$ un punto en la recta $CD$. $BP$ corta a $\Gamma_2$ por segunda vez el $Q$. Muestra que $A, D, P, Q$ son concíclicos.
Última edición por Juaco el Dom 26 Dic, 2021 10:39 pm, editado 1 vez en total.
$91$ es el menor número primo que puede escribirse como producto de $2$ números primos menores a el $(91 = 13 × 7) $

Juaco

OFO - Medalla de Bronce-OFO 2020 OFO - Mención-OFO 2021
Mensajes: 193
Registrado: Jue 10 Oct, 2019 8:24 pm
Medallas: 2
Ubicación: Uruguay

Re: La Geometrense: olimpíada mexicana de geometría 2021 P2

Mensaje sin leer por Juaco »

Spoiler: mostrar
Por homotecia los arcos $AB$ y $AC$ son iguales entonces $A\hat{Q}B = A\hat{D}C$ y estamos.
$91$ es el menor número primo que puede escribirse como producto de $2$ números primos menores a el $(91 = 13 × 7) $

Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial-FOFO 7 años OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO 9 años - Jurado-FOFO 9 años COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo OFO - Jurado-OFO 2020
FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber COFFEE - Jurado-COFFEE Iván Sadofschi FOFO 10 años - Jurado-FOFO 10 años
OFO - Jurado-OFO 2021 FOFO 11 años - Jurado-FOFO 11 años
Mensajes: 1843
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 12
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Re: La Geometrense: olimpíada mexicana de geometría 2021 P2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Alternativamente
Spoiler: mostrar
Invertimos por $A$, $\Gamma _1$ y $\Gamma _2$ se invierten en rectas paralelas y las rectas $BP$ y $CD$ se invierten en circunferencias. Entonces$$\angle B'Q'P'=\angle B'AP'=\angle C'AP'=\angle C'D'P'$$con lo que $P'Q'\parallel P'D'$ (esto es porque $\Gamma _1'\parallel \Gamma _2'$), así que $P',D',Q'$ son colineales, lo que implica que $A,D,P,Q$ son concíclicos.
Pequeño comentario, en español un círculo está relleno y una circunferencia es solamente el borde. En inglés las palabras son "disc" para círculo y "circle" para circunferencia.
Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850

Juaco

OFO - Medalla de Bronce-OFO 2020 OFO - Mención-OFO 2021
Mensajes: 193
Registrado: Jue 10 Oct, 2019 8:24 pm
Medallas: 2
Ubicación: Uruguay

Re: La Geometrense: olimpíada mexicana de geometría 2021 P2

Mensaje sin leer por Juaco »

Gianni De Rico escribió:
Dom 26 Dic, 2021 10:27 pm
Pequeño comentario, en español un círculo está relleno y una circunferencia es solamente el borde. En inglés las palabras son "disc" para círculo y "circle" para circunferencia.
Estoy de acuerdo, pero lo copié tal cual la prueba porque pensé que se iba a entender bien. De todas formas mejor voy a editarlo sí para evitar confusiones
$91$ es el menor número primo que puede escribirse como producto de $2$ números primos menores a el $(91 = 13 × 7) $

Responder