La Geometrense: olimpíada mexicana de geometría 2021 P3

Juaco

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La Geometrense: olimpíada mexicana de geometría 2021 P3

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Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AC = BC$. Sea $D$ un punto en la recta $BA$ tal que $A$ ya es entre $B$ y $D$. Sea $\mathcal{O}_1$ el circuncírculo del triángulo $\triangle DAC$. $\mathcal{O}_1$ corta a $BC$ en $E$. Sea $F$ el punto sobre $BC$ tal que $FD$ es tangente a $\mathcal{O}_1$, y sea $\mathcal{O}_2$ el circuncírculo de $DBF$. Las circunferencias $\mathcal{O}_1$ y $\mathcal{O}_2$ se cortan en $G \ne B$. Sea $O$ el circuncentro de $BEG$. Muestra que $FG$ es tangente al circuncírculo de $BEG$ sí y solo sí $DG$ es perpendicular a $OF$.
$91$ es el menor número primo que puede escribirse como producto de $2$ números primos menores a el $(91 = 13 × 7) $

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