Geometrense 2020 P8

Juaco

OFO - Medalla de Bronce-OFO 2020 OFO - Mención-OFO 2021
Mensajes: 193
Registrado: Jue 10 Oct, 2019 8:24 pm
Medallas: 2
Ubicación: Uruguay

Geometrense 2020 P8

Mensaje sin leer por Juaco »

Sea $\mathcal{E}$ una elipse en el plano y sea $A$ un punto en el exterior de $\mathcal{E}$. Desde $A$ se trazan las líneas tangentes a la elipse. Un par de líneas paralelas $\ell _1$ y $\ell _2$ son tangentes a $\mathcal{E}$ y cortan a las tangentes desde $A$ en $P,Q$ y $R,S$ respectivamente. Demuestre que el producto de las áreas$$A(APQ)\cdot A(ARS)$$no depende del par de líneas paralelas $\ell _1$ y $\ell _2$ escogidas.
$91$ es el menor número primo que puede escribirse como producto de $2$ números primos menores a el $(91 = 13 × 7) $

Juaco

OFO - Medalla de Bronce-OFO 2020 OFO - Mención-OFO 2021
Mensajes: 193
Registrado: Jue 10 Oct, 2019 8:24 pm
Medallas: 2
Ubicación: Uruguay

Re: Geometrense 2020 P8

Mensaje sin leer por Juaco »

Spoiler: mostrar
Aplicando una homología afín el problema se reduce a probar el caso cuando la elipse es una circunferencia.
Spoiler: mostrar
geometrense 2020 P8.jpg
sea $O$ el centro de la circunferencia y $\angle BAC = \alpha$, entonces $A\hat{P}O = 90^{\circ} - \frac{A\hat{P}Q}{2} = 90^{\circ} - \frac{A\hat{R}S}{2} = A\hat{O}S$ esto último por ser $O$ el incentro de $\triangle ARS$ entonces tenemos que $\triangle APO \sim \triangle AOS \Rightarrow AP \cdot AS = AO^2 = AQ \cdot AR \Rightarrow AP \cdot AS \cdot AQ \cdot AR = AO^4$ por lo que $[APQ] \cdot [ARS] = \frac{AP \cdot AQ \cdot \text{sen}(\alpha)}{2} \cdot \frac{AR \cdot AS \cdot \text{sen}(\alpha)}{2} = \frac{AO^4 \cdot \text{sen}^2(\alpha)}{4}$ lo que claramente sólo depende de la distancia de $A$ respecto a la circunferencia
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
$91$ es el menor número primo que puede escribirse como producto de $2$ números primos menores a el $(91 = 13 × 7) $

Responder