IGO 2021 - Nivel Avanzado - P1

Juaco

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Mensaje sin leer por Juaco »

Dado el triángulo acutángulo $ABC$ sea $\omega$ su circuncírculo.$D$ es el punto medio de $AC$, $E$ es el pie de altura desde $A$ y $F$ es la intersección de $AB$ y $DE$. Sea $H$ un punto en el arco $BC$ de $\omega$ que no contiene a $A$ tal que $\angle BHE=\angle ABC$. Probar que $\angle BHF=90^\circ$.
$91$ es el menor número primo que puede escribirse como producto de $2$ números primos menores a el $(91 = 13 × 7) $

ricarlos
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Re: IGO 2021 - Nivel Avanzado - P1

Mensaje sin leer por ricarlos »

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Sea $\angle ABC = \beta$. Prolongamos $HE$ hasta intersectar a $\omega$ en J, luego $\angle JCB=\beta$ entonces tenemos que ABCJ es un trapecio isosceles. Perpendiculares por $B$ y $C$ cortan a $AJ$ en $L$ y $K$. Ya que $D$ es el punto medio de la diagonal del rectangulo AECK entonces $ED$ pasa por $K$. Sea $P=LB \cap JE$. Tomemos los triangulos $AKF$ y $LJP$,

$\frac{AK}{BE}=\frac{FK}{FE}$ y por otro lado $\frac{LJ}{BE}=\frac{PJ}{PE}$. Pero como $AK=LJ$ entonces

$\frac{FK}{FE}=\frac{PJ}{PE}$ de aqui tenemos que $FP\parallel BE$.

Sea Q un punto sobre $BC$ tal que $BC\perp QF$, vemos que $\angle BFP =\angle BQP=\angle BHE =\beta$ entonces $QFPHB$ es ciclico, luego $\angle BHF = 90$ pues el opuesto en el ciclico $QFHB$ tambien mide 90.
dibujo.png
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Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.

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