IGO 2021 - Nivel Avanzado - P2

[Juaco]

Dos circunferencias $\Gamma _1$ y $\Gamma _2$ se cortan en los puntos $A$ y $B$. Una recta que pasa por $A$ corta a $\Gamma _1$ y $\Gamma _2$ en $C$ y $D$ respectivamente de tal forma que $A$ se encuentra entre $C$ y $D$. La tangente por $A$ a $\Gamma _2$ corta a $\Gamma _1$ en $E$. Sea $F$ un punto en $\Gamma _2$ tal que $A$ y $F$ se encuentran en lados diferentes de $BD$ y $2\angle AFC=\angle ABC$. Probar que la tangente por $F$ a $\Gamma _2$, y las rectas $BD$ y $CE$ son concurrentes.

[enigma1234]

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Sea $G$ la intersección de $CE $ con la tangente por $F$ a $\Gamma_2$.

Debemos demostrar que $G,B,D$ son colineales.

Sea $\angle AFC=\frac{\angle ABC}{2}=\alpha$ , $\angle CFG=m$ y $\angle GCF=n$.

Por las tangentes por $A$ y $F$ a $\Gamma_2$ tenemos que:
$$\angle EAF=\angle AFG=m+\alpha$$

Usando que $A$ y $F$ están en distintos lados de $BD$ tenemos que los segmentos $CF$ y $AE$ se intersectan, luego claramente obtendremos que:
$$\angle EAF+\angle AFC=\angle GCF+\angle AEC\to m=n\to GC=GF$$

Usando la tangente por $A$ a $\Gamma_2$ y $\Gamma_1$ tenemos:
$$ \angle BDC=\angle EAB=\angle ECB\dots(1)$$

Luego si $\Gamma_3=\odot (BCD)$ tenemos por $(1)$ que $GC$ es tangente a $\Gamma_3$ y por lo tanto:
$$\text{Pot}(G,\Gamma_2)=GF^2=GC^2=\text{Pot}(G,\Gamma_3)$$
Por lo tanto $G$ esta en el eje radical de $\Gamma_2$ y $\Gamma_3$ que claramente es $BD$ obteniendo lo deseado.

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