IGO 2021 - Nivel Elemental - P2

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Juaco

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IGO 2021 - Nivel Elemental - P2

Mensaje sin leer por Juaco »

Los puntos $K, L, M, N$ están en los lados $AB, BC, CD, DA$ de un cuadrado $ABCD$, respectivamente, tales que el área de $KLMN$ es igual a la mitad del área de $ABCD$. Pruebe que alguna diagonal de $KLMN$ es paralela a algún lado de $ABCD$.
$\text{“The further removed from usefulness or practical application, the more important."}$
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DiegoLedesma
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Re: IGO 2021 - Nivel Elemental - P2

Mensaje sin leer por DiegoLedesma »

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Sea $L$ la longitud del lado del cuadrado $ABCD$. Al ubicar los puntos $K$, $L$, $M$, $N$ tal como se pide, quedan determinados los segmentos $AK$, $KB$, $BL$, $LC$, $CM$, $MD$, $DN$ y $NA$.
Sean $A_{1}, A_{2}, A_{3} \;y\; A_{4}$ las áreas de los triángulos $AKN$, $BKL$ y $CLM$, respectivamente.
Sean $BL=a$, $NA=b$, $KB=c$, $CM=d$, luego $LC=L-a$, $DN=L-b$, $AK=L-c$, $MD=L-d$.
Por ser el área de $KLMN$ la mitad del área de $ABCD$, se tiene que $A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}=\frac{L^{2}}{2}$ $\Rightarrow$ $\frac{(L-c)b+ac+(L-a)d+(L-b)(L-d)}{2}=\frac{L^{2}}{2}$; cancelando denominadores y aplicando distributiva: $bL-bc+ac+dL-ad+L^{2}-bL-dL+bd=L^{2}$; luego de cancelar términos y agrupando por factor común: $c(a-b)-d(a-b)=0$ $\Rightarrow$ $(a-b)(c-d)=0$ $\Rightarrow$ $a=b$ $\vee$ $c=d$ (2 posibles casos)
*Si $a=b$ $\Rightarrow$ $LN // AB$
*Si $c=d$ $\Rightarrow$ $KM // BC$, con lo que para ambos casos posibles, queda demostrado lo pedido.
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