IGO 2021 - Nivel Elemental - P4

[Juaco]

En el trapecio isósceles $ABCD \hspace{0,15cm} (AB \parallel CD)$, los puntos $E$ y $F$ están en el segmento $CD$ de tal forma que los puntos $D, E, F, C$ están en ese orden y $DE = CF$. Sean $X$ e $Y$ las reflexiones de $E$ y $C$ con respecto a $AD$ y $AF$.
Demostrar que los circuncírculos de los triángulos $\triangle ADF$ y $\triangle BXY$ son concéntricos.

[enigma1234]

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Sea $J\neq A$ un punto en $AB$ tal que $\{J,A\}=\odot(ADF)\cap AB$. Luego como $AJ\parallel DF$, $AJDF$ es un trapecio isósceles con $\angle JFD=\angle ADF=\angle BCD$. De esto tenemos que $FJ\parallel BC$, y por lo tanto $FJBC$ es un paralelogramo. $$\to FJ=BC=AD \text{ y } JB=FC\dots(1).$$
Sea $O$ el centro de $\odot(ADFJ)$. Debemos probar que $OB=OX=OY$. De la definición de $X$ y $Y$ del problema y de $(1)$ tenemos que:
$$YF=CF=JB=DE=DX\dots (2)$$
Lema:$\angle OJB=\angle OFY=\angle ODX$

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Tenemos:
$$\angle OJB=\angle OJF+\angle FJB=\angle JFO+\angle JFD\dots(3)$$
Como $AJFD$ es un trapecio isosceles tenemos:
$$\angle OJB=\angle JFO+\angle JFD=\angle ODA+\angle FDA=\angle ODA+\angle ADX=\angle ODX$$
donde la tercera igualdad es cierta pues $X$ es la reflexión de $E$ sobre $AD$.
De $(3)$:
$$\angle OJB=\angle JFO+\angle JFD=2\angle JFO+\angle OFD=180^{\circ}-\angle FOJ+\angle OFD$$
$$\to \angle OJB=180^{\circ}-2\angle FAJ+\angle OFD$$
Como $AJ\parallel FD$ y $Y$ es la reflexión de $C$ sobre $AF$
$$180^{\circ}-2\angle FAJ=180^{\circ}-2\angle AFD=180^{\circ}-\angle YFC=\angle DFY$$
Luego:
$$\to \angle OJB=\angle DFY+\angle OFD=\angle OFY$$

Luego, del Lema, de $(2)$ y como $OJ=OF=OD$, tenemos que los triángulos $\triangle OJB,\triangle OFX,\triangle ODX$ son congruentes, y por lo tanto $OB=OX=OY$ como queriamos probar.

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