Intercolegial 2022 N2 P3

[Gianni De Rico]

Sea $ABCD$ un rombo con $\widehat A=\widehat C$ mayor que $\widehat B=\widehat D$. Sean $P$ en el lado $AB$ y $Q$ en el lado $AD$ tales que $PCQ$ es un triángulo equilátero de lados iguales a los lados del rombo. Calcular los ángulos del rombo.

[Lib]

Respuesta:

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$\widehat B=\widehat D=80^\circ$ y $\widehat A=\widehat C=100^\circ$

Procedimiento:

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Los tres ángulos del triángulo $PCQ$ miden $60^\circ$ por ser equilátero.

Sea $\alpha =C\widehat BA=C\widehat DA$.
El lado de $PCQ$ es igual al lado de $ABCD$, por lo tanto $\overline{CB}=\overline{CP}$, entonces $PCB$ es isósceles y $C\widehat BP=C\widehat PB=\alpha$.

Aplicando lo mismo al triángulo $CDQ$, obtenemos que $C\widehat DQ=C\widehat QD=\alpha$.

$D\widehat CQ=B\widehat CP=180^\circ -2\alpha$ por la suma de los ángulos interiores de $PBC$ y $DCQ$.
Por lo tanto, $B\widehat CD=B\widehat CP+P\widehat CQ+Q\widehat CD=2(180^\circ -2\alpha )+60^\circ$.

Por otro lado, $A\widehat PQ=P\widehat QA=180^\circ -60^\circ -\alpha=120^\circ -\alpha$, ya que $B\widehat PA$ y $D\widehat QA$ son llanos.
Y por ángulos interiores del triángulo $APQ$, $Q\widehat AP=180^\circ -2(120^\circ -\alpha )$.

Sabemos que $\widehat A=\widehat C$, por lo tanto$$2(180^\circ -2\alpha )+60^\circ =180^\circ -2(120^\circ -\alpha )$$$$360^\circ -4\alpha +60^\circ =180^\circ -(240^\circ -2\alpha )$$$$420^\circ -4\alpha =-60^\circ +2\alpha$$$$420^\circ +60^\circ =2\alpha +4\alpha$$$$480^\circ =6\alpha$$$$\frac{480^\circ}{6}=\alpha$$$$\alpha =80^\circ$$$$\widehat D=\widehat B=80^\circ$$$$\widehat A=\widehat C=180^\circ -80^\circ =100^\circ$$entonces, $\widehat A=100^\circ$, $\widehat B=80^\circ$, $\widehat C=100^\circ$ y $\widehat D=80^\circ$.