Regional 2022 N2 P3

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Matías V5

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Regional 2022 N2 P3

Mensaje sin leer por Matías V5 »

Se tienen dos cuadrados del mismo tamaño, $ABCD$ y $EFGH$, ubicados cada uno en el exterior del otro, de manera que $C$ es el punto medio del lado $EF$ y los puntos $B,F,G$ están alineados, con $F$ entre $B$ y $G$. La recta $BC$ corta al lado $EH$ en $K$ y la recta $AC$ corta al lado $GH$ en $M$. Sea $L$ el punto medio de $GH$. Calcular las medidas de los ángulos del cuadrilátero $CKLM$.
Nota. Los lados de los cuadrados son $AB,BC,CD,AD$ y $EF,FG,GH,EH$ respectivamente.
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore!

Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=SoRiOoqao5Y
Saavedralover2
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Re: Regional 2022 N2 P3

Mensaje sin leer por Saavedralover2 »

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Primero hacemos el dibujo de la figura y trazamos el segmento $LC$. En la figura están marcados todos los lados congruentes: $AB=BC=CD=AD=EF=FG=GH=EH=LC$ y $GL=LH=FC=CE$.
Regional 2022 N2 P3.png
$\triangle ABC$ es isósceles ($AB=BC$) y rectángulo ($\angle ABC=90^\circ$), entonces $\angle BAC=\angle ACB=45^\circ$.
$\angle ACB=\angle KCM$ por ser opuestos por el vértice, entonces $\color{red}{\angle KCM=45^\circ}$.

$\triangle BCF$ es medio equilátero porque $AB=2CF$ (la hipotenusa es igual al doble de la base). Si es medio equilátero, sus $3$ ángulos tienen que medir $90^\circ$, $60^\circ$ y $30^\circ$: $\angle BFC=90^\circ$, $\angle BCF=60^\circ$ y $\angle CBF=30^\circ$.
$\angle ECK=\angle BCF$ por ser opuestos por el vértice, entonces $\angle ECK=60^\circ$.
$LC$ es la base media del cuadrado $EFGH$ y es perpendicular a los lados $EF$ y $GH$, entonces $\angle FCL=\angle ECL=\angle CLH=\angle CLG=90^\circ$.
Como $\angle ECL=\angle KCL+\angle ECK$, $\angle ECK=60^\circ$ y $\angle ECL=90^\circ$, entonces $90^\circ =\angle KCL+60^\circ \Rightarrow 90^\circ -60^\circ =\angle KCL\Rightarrow 30^\circ =\angle KCL$.
Como $\angle KCM=\angle KCL+\angle LCM$, $\angle KCM=45^\circ$ y $\angle KCL=30^\circ$, entonces $45^\circ =\angle LCM+30^\circ \Rightarrow 45^\circ -30^\circ =\angle LCM\Rightarrow 15^\circ =\angle LCM$.
Por la suma de los ángulos interiores de un triángulo: $\angle CLG+\angle LCM+\angle CML=180^\circ$. Sabemos que $\angle CLG=90^\circ$ y $\angle LCM=15^\circ$, entonces reemplazamos:
$90^\circ +15^\circ +\angle CML=180^\circ \Rightarrow \angle CML=180^\circ -90^\circ -15^\circ \Rightarrow \color{red}{\angle CML=75^\circ}$.

$\triangle BCF\cong \triangle ECK$ por el criterio ALA ($\angle ECK=\angle BCF$, $CE=FC$ y $\angle CEK=\angle BFC$), entonces $BC=CK$ y $CK=LC$. Por lo tanto, $\triangle CKL$ es isósceles, entonces $\angle CKL=\angle CLK$.
Por la suma de los ángulos interiores de un triángulo: $\angle KCL+\angle CKL+\angle CLK=180^\circ$. Reemplazamos $\angle KCL=30^\circ$ y $\angle CKL=\angle CLK=\alpha$:
$30^\circ +\alpha +\alpha =180^\circ \Rightarrow 2\alpha =180^\circ -30^\circ \Rightarrow 2\alpha =150^\circ \Rightarrow \alpha =\dfrac{150^\circ}{2}\Rightarrow \alpha =75^\circ \Rightarrow \color{red}{\angle CKL=75^\circ}$.

Queda $\angle KLM$ que se puede calcular de $2$ formas:
1) Por la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero: $\angle KCM+\angle CML+\angle CKL+\angle KLM=360^\circ$. Reemplazamos $\angle KCM=45^\circ$, $\angle CML=75^\circ$ y $\angle CKL=75^\circ$:
$45^\circ +75^\circ +75^\circ +\angle KLM=360^\circ \Rightarrow 195^\circ +\angle KLM=360^\circ \Rightarrow \angle KLM=360^\circ -195^\circ \Rightarrow \color{red}{\angle KLM=165^\circ}$.
2) Sabiendo que $\angle KLM=\angle CLG+\angle CLK$, $\angle CLG=90^\circ$ y $\angle CLJK=75^\circ$, entonces $\angle KLM=90^\circ +75^\circ \Rightarrow \color{red}{\angle KLM=165^\circ}$.
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