Regional 2022 N3 P3

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Matías V5

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Regional 2022 N3 P3

Mensaje sin leer por Matías V5 »

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo en $A$. Entre todos los puntos $P$ en el perímetro del triángulo, hallar la posición de $P$ tal que la suma $AP+BP+CP$ sea mínima.
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore!

Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=SoRiOoqao5Y
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Turko Arias

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Re: Regional 2022 N3 P3

Mensaje sin leer por Turko Arias »

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Primero que nada vamos a hacer una pequeña observación técnica, notemos que si tenemos un segmento $XY$ y un punto $Z$ fuera de él, el munto $P$ sobre la recta $XY$ que hace que el valor de $ZP$ sea mínimo es el pie de la perpendicular por $Z$, al que llamaremos $H$. Para demostrarlo, tomemos un punto $P$ sobre $XY$ tal que $PZ$ y $XY$ no sean perpendiculares. El triángulo $ZHP$ es rectángulo en $H$ y su hipotenusa es $ZP$, pero en todo triángulo rectángulo su hipotenusa es el lado mayor, entonces $ZP>HZ$ y cualquier punto que no sea perpendicular genera un segmento mayor.

Sean $BC=a$, $AC=b$ y $AB=c$. Vamos a separar el problema en tres casos:

-Si $P$ está sobre el lado $AB$ entonces $PA+PB+PC=AB+PC$ y esto es más chico cuando $P=A$, ya que $AC$ es perpendicular a $AB$ y por nuestra observación eso era lo óptimo.
-Si $P$ está sobre el lado $AC$ entonces $PA+PB+PC=AC+PB$ y esto es más chico cuando $P=A$, ya que $AB$ es perpendicular a $AC$ y por nuestra observación eso era lo óptimo.
-Si $P$ está sobre el lado $BC$ entonces $PA+PB+PC=BC+PA$ y esto es más chico cuando $P=H$ siendo $H$ pie de la altura por $A$, ya que $AH$ es perpendicular a $BC$ y por nuestra observación eso era lo óptimo.

En el primer caso y segundo caso $AP+BP+CP=b+c$ y en el tercer caso $AP+BP+CP=a+AH$. Ahora bien, observando el triángulo $ABC$ notamos que su área es $\frac{bc}{2}$ y también se puede calcular como $\frac{a \times AH}{2}$. Como ambas expresiones representan lo mismo, podemos igualarlas y despejando llegamos a que $AH=\frac{bc}{a}$. Ahora, queremos comparar $b+c$ con $a+\frac{bc}{a}$ para decidir cual es menor.

Como ambas expresiones son positivas, compararlas es lo mismo que comparar sus cuadrados.
Queremos saber si $(b+c)^2=b^2+c^2+2bc$ es igual, más grande, o más chico que $(a+\frac{bc}{a})^2=a^2+2 \times a \times \frac{bc}{a}+(\frac{bc}{a})^2=a^2+2bc+(\frac{bc}{a})^2$. Por el Teorema de Pitágoras, tenemos que $b^2+c^2=a^2$ por lo que la primera expresión tiene $b^2+c^2$ y la segunda $a^2$ que son iguales, ambas expresiones tienen $2bc$ pero además la segunda expresión tiene $(\frac{bc}{a})^2$, luego la segunda expresión es más grande y lo óptimo es que $P=A$ y el problema queda terminado $\blacksquare$
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Fundamentalista del Aire Acondicionado

Y todo el orgullo de ser bien bilardista
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