Intercolegial 2023 N2 P3

[Gianni De Rico]

Sea $ABC$ un triángulo con $B\widehat AC=90^\circ$ y $B\widehat CA=34^\circ$. Desde el vértice $A$ se trazan la altura y la mediana que cortan a la hipotenusa en $D$ y en $E$, respectivamente. Calcular la medida del ángulo $D\widehat AE$.

[drynshock]

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La respuesta es 22⁰, nose si se puede subir una foto para poder explicar así que lo voy a hacer aca por texto. Para este ejercicio es importante conocer el teorema que plantea que cuando tenemos un triangulo rectángulo y se traza la mediana de la hipotenusa,
esa mediana va a ser igual a la mitad de la hipotenusa, es decir 2*m=c. (m mediana, c hipotenusa). Sabiendo esto el problema sale fácil ya que el triángulo AEC es isosceles, por lo que el angulo EÂC=AĈE=34⁰. El ángulo ABE se calcula por suma de angulos interiores de un triangulo(180), por lo que ABE=180-90-34=56 y se hace lo mismo con el traingulo ADB, quedando que el angulo BÂD=34⁰. Finalmente 90⁰-34⁰-34⁰=22⁰

[El gran Filipikachu;]

Una muy divertida

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Intercolegial-N2-P3.jpg

Como $AD$ es altura del triángulo $ABC$ rectángulo en $A$, tenemos que los triángulos $ABC$, $DBA$ y $DAC$ son semejantes. Entonces $\frac{AB}{AC}=\frac{DB}{DA}=\frac{DA}{DC}$.
Por lo tanto, $(\frac{AB}{AC})^2=\frac{DB}{DA} \cdot \frac{DA}{DC}= \frac{BD}{DC}$
Además, como $E$ es punto medio de $BC$, tenemos $\frac{BE}{EC}=1$ y luego $(\frac{AB}{AC})^2=\frac{BD}{DC} \cdot \frac{BE}{EC}$, de donde se sigue que $AD$ y $AE$ son isogonales, deduciendo así que $B\widehat{A}D=C\widehat{A}E$.

Finalmente, $D\widehat{A}E=B\widehat{A}C-B\widehat{A}D-C\widehat{A}E=90-2B\widehat{A}D=90-68=22$

[Gianni De Rico]

Una muy divertida

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Como $AD$ es altura del triángulo $ABC$ rectángulo en $A$, tenemos que los triángulos $ABC$, $DBA$ y $DAC$ son semejantes. Entonces $\frac{AB}{AC}=\frac{DB}{DA}=\frac{DA}{DC}$.
Por lo tanto, $(\frac{AB}{AC})^2=\frac{DB}{DA} \cdot \frac{DA}{DC}= \frac{BD}{DC}$
Además, como $E$ es punto medio de $BC$, tenemos $\frac{BE}{EC}=1$ y luego $(\frac{AB}{AC})^2=\frac{BD}{DC} \cdot \frac{BE}{EC}$, de donde se sigue que $AD$ y $AE$ son isogonales, deduciendo así que $B\widehat{A}D=C\widehat{A}E$.

Finalmente, $D\widehat{A}E=B\widehat{A}C-B\widehat{A}D-C\widehat{A}E=90-2B\widehat{A}D=90-68=22$

Creo que esta es la forma más rebuscada que conozco de demostrar que la altura es simediana jajaja, igual te banco fuerte.

[Fiebre]

Cuando la prueba terminó y estábamos discutiendo los problemas fuera de las aulas una persona me preguntó si había una solución sin usar trigonometría o mediana correspondiente a la hipotenusa, no supe responderle en el momento, espero que pueda leer esto.

Los ingredientes:

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Teorema de la mediana (acá podría decir Teorema de Stewart, que es una generalización del teorema de la mediana, pero llegamos a las mismas cuentas con ambos caminos y voy a escribir lo que trae menos renglones)
Teorema de Pitágoras

La respuesta en cuestión:

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El teorema de la mediana nos dice que:

$$ AB^{2} + AC^{2} = \frac{BC^{2}}{2} + 2 AE^{2} $$

El teorema de Pitágoras nos dice que:

$$ AB^{2} + AC^{2} = BC^{2} $$

Igualando nos queda que:

$$ BC^{2} = \frac{BC^{2}}{2} + 2 AE^{2} $$

$$ \frac{BC^{2}}{2} = 2 AE^{2} $$

$$ BC^{2} = 4 AE^{2} $$

$$ BC = 2 AE $$

Una vez que nos queda que la hipotenusa es el doble de la mediana notamos que:

$$ AE = BE = CE $$

Y ya podemos terminar la resolución como más arriba han detallado en otra respuesta al post, completando ángulos aprovechando los triángulos isósceles que encontramos (AEB y AEC).

[Gianni De Rico]

Cuando la prueba terminó y estábamos discutiendo los problemas fuera de las aulas una persona me preguntó si había una solución sin usar trigonometría o mediana correspondiente a la hipotenusa, no supe responderle en el momento, espero que pueda leer esto.

Los ingredientes:

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Teorema de la mediana (acá podría decir Teorema de Stewart, que es una generalización del teorema de la mediana, pero llegamos a las mismas cuentas con ambos caminos y voy a escribir lo que trae menos renglones)
Teorema de Pitágoras

Me parece que cualquier persona que sepa tu primer ingrediente ya sabe lo que es la mediana a la hipotenusa, acá dejo lo que me contó un chico que no conocía nada de eso

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Notar haciendo angulitos que $BDA\simeq ADC$, de donde $\dfrac{BD}{DA}=\dfrac{AD}{DC}$. Como $BD=BE-DE$ y $DC=DE+EC=DE+BE$, nos queda $\dfrac{BE-DE}{DA}=\dfrac{AD}{DE+BE}$. Multiplicando cruzado y usando diferencia de cuadrados nos da $BE^2-DE^2=AD^2$, que reordenando es$$BE^2=AD^2+DE^2=AE^2,$$donde la última igualdad es por Pitágoras en $ADE$. Entonces $AE=BE=CE$, y de ahí podemos terminar el problema.