Intercolegial 2023 N3 P3

[Gianni De Rico]

Dos circunferencias son tangentes entre sí y tangentes a dos rectas que forman un ángulo de $60^\circ$, como se ve en la figura. Si el radio de la circunferencia menor es igual a $5$, calcular el radio de la circunferencia mayor.

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[fran :)]

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Una solución en formato de poema (recomiendo leerlo y seguir las instrucciones que hay en el poema):

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CAPÍTULO UNO: LAS PROPOSICIONES

En un plano de Euclides
Donde hay cinco postulados:
El de puntos, el de rectas
El de círculos, el de rectos
Y el famoso de paralelas

Hay dos rectas, son secantes
En un ángulo importante
El ángulo entre estos lados
Es igual a sesenta grados

Un círculo interesante
Y es tangente, en este caso
A las rectas divergentes
Un contacto muy despacio

Otro círculo, que es menor
Entre rectas se encuentra
También a éstas es tangente
Y a la otra circunferencia

Éste circulo menor
Tiene un radio igual a cinco
Pero; ¿y el de el mayor?
Resolvamos este acertijo

CAPITULO DOS: LOS NOMBRES

Se llama O al centro
de la circumferencia de radio 5
y en la mayor, muy adentro,
O' es lo mismo

A y B en la menor
Intersecan las dos rectas
A la una, y B la otra
Son los puntos de tangencia

A' y B'
se construyen similar
como centro, O'
esta vez hay emplear

Y además denominemos
Al vértice de las rectas
P, porque es un punto
Importante en nuestro discurso

Sea Q, sin mas espera
El punto de intersección
Entre ambas circumferencias
(otro punto de tangencia!)

CAPITULO TRES: LOS PUNTOS

Primero, observemos
Que PO bisecciona
a el ángulo llamado
APB, y esto funciona

porque estos ángulos, ambos rectos:
PAO y PBO
y estos lados, ambos radios:
de A a O y B a O

los triángulos, por ende
APO y BPO
designémoslos congruentes
porque dos lados iguales
y un ángulo también
son criterios necesarios
para igualdad tener

De este dato interesante
Hoy podemos concluir
Que APO y BPO
no pueden diferir

Ángulos iguales cualquiera
Que a sesenta suman
Sabemos, sin lugar a duda
Que cada uno es treinta

Con el mismo procedimiento
Con A B y O todas primas
Alcanzaremos el conocimiento
De que O' también entra

En la recta bisectriz
De ambas rectas originales
¡Qué increíble, qué feliz!
¡P O y O' colineales!

Aclaremos, no olvidemos
Que Q también es colineal
Ya que entre O y O' está
Y en esta recta también está

CAPITULO CUATRO: LAS LINEAS

Ahora tomemos el seno
De el ángulo PAO
Que es lo mismo, por supuesto
Que el ángulo con prima O

Y también con prima A
No debemos olvidar
Estos angulos son iguales
Porque los puntos son colineales

Este seno, susodicho
Es igual al cociente
Del hipotenusa y el opuesto
Del triángulo congruente

PAO es 30 grados
Lo debemos recalcar
La hipotenusa, P hasta O
El opuesto es de O a A

El seno de 30 grados
Es un medio, exactamente
O a A, 5 mide el lado
Nos lo dice el enunciado

Si escribimos en papel
La ecuación, que ya formamos
Intercambiamos de plantel
El un medio, y el OP

Calculemos el cociente
entre 5 multiplicando
Y abajo, dividiedno
hay un medio, resultando en

Diez, que es igual
a OP, sin dudar
Y también, como hemos visto
OQ es igual a cinco
porque del menor éste es un radio
como dice el enunciado

CAPITULO CINCO: LAS FIGURAS

Sabemos, con demasía
Que la razón entre O'
a A' y O' a P
Es un medio, obviamente

¿Por qué?, se preguntarán
Es porque O'A'P es
Semejante a OAP
Y ésto es porque

O'A'P es 30 grados
PA'O' es 90 grados
y además, comparten lado
(la recta de O a P)

Dos ángulos y una recta
Bastan para probar la semejanza
De dos triángulos cuya importancia
Es enorme y directa

O'P a su vez
Está formado por varias partes
de O' a Q primero
de Q a O después
Y por último, O a P

Éste último, igual a 10
Y el previo, igual a cinco
El primero es un radio
De la circunferencia, si yo me explico

Sabemo que es un medio
La razón de magna expresión
Con O'A numerador
Y esta suma denominador:

cinco mas diez
que a quince igual es
más el O'Q que O'A es
porque un radio también es

Invirtiendo ambos lados
De esta grande ecuación
Nos queda que el cociente
Es igual a un simple dos

Distribuyo el cociente
Y me queda, simplemente
Que 1 más quince sobre
O'A, es igual a dos

Resto uno de ambos lados
Que me queda, que me queda
Que un cociente es igual a uno!
Y esto implica que son iguales

Numerador y denominador
Quince y el radio
Solicitado por el escritor
De este hermoso enunciado

CAPÍTULO SEIS: EL FIN

Y así, queda resuelto
este enigma misterioso
que a nosotros, engañoso
nos quiso derrotar

Las incógnitas, destruidas
Los valores, conocidos
El certamen, aprobado
Conocimiento: adquirido!

Explicación corta:

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Sea O el centro de la cicunferencia menor, O' el de la circumferencia mayor, Q su intersección, y P el vértice entre los lados

Sean A y B las intersecciónes de la circumferencia menor con cada uno de los lados.
Sean A' y B' las intersecciónes de la circumferencia mayor con cada uno de los lados.

Como APO y BPO comparten PO, los ángulos OAP y OBP son iguales porque ambos son rectos, porque A y B son puntos tangenciales, y OA = OB porque son radios, entonces APO es congruente a BPO

Entonces el ángulo APO es igual al BPO, por lo tanto como suman 60° cada uno es de 30°. Entonces O esta sobre la bisectriz de APB. Podemos seguir el mismo razonamiento para concluir que O' también está en la bisectriz. Q está entre O y O' porque las circumferencias son tangentes, entonces P, O, Q, y O' son colineales.

El seno de 30° es igual a un medio, entonces en cualquier triangulo rectangulo, la hipotenusa es el doble de un lado opuesto a un ángulo de 30°. En la figura, esto sucede en los triángulos POA y PO'A', porque $OPA = O'PA' = 30°$ y $O'A'P = OAP = 90°$
$\frac{PO}{OA} = \frac{PO'}{O'A'} = 2$.
$OA = 5 \to PO = 2 \cdot 5 = 10$.
$PO' = PO + OQ + QO' = 10 + 5 + O'A'$ (porque $OQ = OA = 5$ y $QO' = A'O$ porque son radios)
$PO' = 15 + O'A'$
$\frac{15 + O'A'}{O'A'} = 2$
$\frac{15}{O'A'} + 1 = 2$
$\frac{15}{O'A'} = 1$
$O'A' = 15$

Así queda resuelto el problema. El radio de la circumferencia mayor es igual a 15.

GeoGebra:

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[Yomismo]

Sea A el pumto de union de las doa rectas que contienen a las circunferencias. Al ser las dos cirfunferencias tangentes notemos que en el centro de estas deberia pasar la bisectriz. Sea O el centro de de la cirfunferencia pequeña y X el de la grande. Entonces, si trazamos una linea recta de o hasta la base nos queda un angulo recto al ser altura. Sea B, tal que BO sea esa altura. Como BÂO=30°, ya que es bisectriz, y ABO=90°, entonces AÔB=180°-(90°+30°)=60°. Siendo medio equilatero, tiene la peopiedad de que la mitad del cateto menor es la mitad de la hipotenusa, y como BO=5, por ser el radio de la cirfunferencia pequeña entonces AO=2×BO=2×5=10. Despues lo termino