Pappus con involuciones

[gerez_robert]

Sean $\ell$ y $\ell'$ dos rectas incidentes en $P$.
Sean $A, B$ y $C$ puntos arbitrarios en $\ell$ distintos entre si, y distintos a $P$, en el orden $A, B, C, P$. Analogamente se definen $D, E$ y $F$ en $\ell'$.
Si $X=BD∩AE, X'=CD∩AF, Y=CE∩BF$. Entonces $X, X'$ e $Y$, están alineados.
Demostración:

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Sean $Y'=XX'∩AD, Y''=XX'∩BF, Y'''=XX'∩CE, Z=XX'∩AP, Z'=XX'∩DP$.
Por DIT, aplicado a $ABFD$: $(X, X'), (Z, Z'), (Y', Y'')$ son pares de una involución $f$.
Y por DIT, aplicado a $ACED$: $(X, X'), (Z, Z'), (Y', Y''')$ son pares de una involución $g$.
Como una involucion está completamente determinada por dos pares reciprocos, se sigue $f=g$.
$\Rightarrow Y=Y''=Y'''$. $\blacksquare$