Selectivo EGMO, Perú 2020. Problema 2

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Nando

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Selectivo EGMO, Perú 2020. Problema 2

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Encuentre todos los pares $(a, b)$ de números enteros tales que:
$a^2 + b^2$ es divisible por $a − b − 1$;
$\frac{a^2 + b^2}{2ab − 1} =\frac{20}{19}$

Fedex

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Re: Selectivo EGMO, Perú 2020. Problema 2

Mensaje sin leer por Fedex »

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$19(a^2 + b^2) = 20(2ab-1)$
Luego como $RHS \equiv 0 \; (2)$, $a \equiv b \; (2)$ y $a-b-1$ es impar.
$a-b-1 | 19(a^2 + b^2) = 20(2ab-1)$
$a-b-1 | 5(2ab-1)$
Sea $p$ el mayor entero positivo tal que $p | a-b-1$ y $p |2ab-1$.
Entonces $p| a^2+b^2 -2ab + 1 = (a-b)^2 + 1$
Y también $p| (a-b-1)(a-b+1) = (a-b)^2 - 1$
Finalmente $p | (a-b)^2 + 1 - ((a-b)^2 - 1) = 2$
Pero como $p|2ab-1 \equiv 1 \; (2)$, $p=1$.
Luego $a-b-1$ y $2ab-1$ son coprimos.
$a-b-1 | 5$
$a-b = -4, 0, 2, 6$
$19(a-b)^2 = 2ab -20$

Si $a-b = -4$
$162 = ab = (b-4)b$ que no tiene soluciones enteras.
Si $a-b = 0$
$10 = ab = b^2$ que no tiene soluciones enteras.
Si $a-b = 2$
$48 = b(b+2)$ donde sacamos las soluciones $(a,b) = (8,6)(-6,-8)$.
Si $a-b = 6$
$352 = b(b+6)$ donde sacamos las soluciones $(a,b) = (22,16),(-16,-22)$.

Luego las soluciones son $(a,b) = (8,6),(-6,-8)(22,16)(-16,-22)$.
1  
$\frac{9}{1^2} \binom{20}{18}$

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